통계에서의 10% 조건: 정의 및 예

베르누이 시행은 ‘성공’ 또는 ‘실패’라는 두 가지 결과만 가능한 실험이며, 실험을 수행할 때마다 성공할 확률은 동일합니다.

베르누이 에세이의 예는 동전 던지기입니다. 동전은 앞면이 두 개만 나올 수 있으며(앞면이 “적중”이고 뒷면이 “실패”라고 부를 수 있음), 동전이 공정하다고 가정할 때 각 던지기의 성공 확률은 0.5입니다.

종종 통계에서는 여러 번의 베르누이 시행과 관련된 확률을 계산할 때 정규 분포를 근사값으로 사용합니다. 그러나 이를 위해서는 시행이 독립적이라고 가정해야 합니다.

시험이 실제로 독립적이지 않은 경우, 우리가 작업하는 표본 크기가 모집단 크기의 10%를 초과하지 않으면 독립적이라고 항상 가정할 수 있습니다. 이것을 10% 조건 이라고 합니다.

10% 조건: 표본 크기가 모집단 크기의 10%보다 작거나 같으면 베르누이 검정은 항상 독립적이라고 가정할 수 있습니다.

10% 조건 뒤에 숨은 직관

10% 조건에 대한 직관을 개발하려면 다음 예를 고려하십시오.

특정 학급에서 농구보다 축구를 선호하는 학생의 실제 비율이 50%라고 가정합니다 . 무작위 변수 X를 농구보다 축구를 선호하는 4번의 시행에서 무작위로 선택된 학생의 수로 설정합니다. 무작위로 선택된 4명의 학생이 농구보다 축구를 선호할 확률을 이해하고 싶다고 가정해 보겠습니다.

학급 규모가 20명이고 시행이 독립적인 경우(예를 들어 학생 20명 모두에 대해 반복 표본을 추출할 수 있음) 각 학생이 농구보다 축구를 선호할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

P(4명의 학생이 축구를 선호함) = 10/20 * 10/20 * 10/20 * 10/20 = .0625 .

그러나 실험이 독립적이지 않은 경우(예를 들어 학생을 샘플링한 후에는 수업으로 돌아갈 수 없음) 4명의 학생 모두가 축구를 선호할 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

P(4명의 학생이 축구를 선호함) = 10/20 * 9/19 * 8/18 * 7/17 = .0433 .

이 두 가지 확률은 매우 다릅니다. 이 예에서 표본 크기(학생 4명)는 모집단(학생 20명)의 10% 이상이므로 10% 조건을 사용할 수 없습니다.

그러나 무작위로 선택된 4명의 학생이 학급 규모에 따라 축구를 선호할 확률을 보여주는 다음 표를 고려하십시오.

모집단 크기(예: 이 예에서는 “클래스 크기”)에 비해 표본 크기가 감소함에 따라 독립 시행과 비독립 시행 간의 계산된 확률이 점점 더 가까워집니다.

표본 크기가 모집단 크기의 정확히 10%인 경우 독립 시행과 비독립 시행 확률의 차이는 상대적으로 유사합니다.

그리고 표본 크기가 모집단 크기의 10%보다 훨씬 작은 경우(예: 표의 마지막 행에 있는 모집단 크기의 0.4%) 독립적인 실험과 비독립적인 실험 간의 확률은 매우 가깝습니다.

결론

10% 조건은 베르누이 시행 세트가 독립적이라고 안전하게 가정하려면 표본 크기가 모집단 크기의 10%보다 작거나 같아야 함을 나타냅니다.

물론 모집단에 대한 추론이 최대한 정확하려면 표본 크기가 모집단 크기의 10%보다 훨씬 작은 것이 가장 좋습니다. 예를 들어, 우리는 표본 크기가 모집단의 10%가 아닌 5%인 것을 선호합니다.

추가 리소스

정규분포 소개
이항분포 소개
중심 극한 정리 소개