동일하지 않은 표본 크기로 t-검정을 수행하는 방법

통계를 공부할 때 학생들이 자주 묻는 질문은 다음과 같습니다.

각 그룹의 표본 크기가 동일하지 않은 경우 t-검정을 수행할 수 있습니까?

짧은 대답:

예, 표본 크기가 동일하지 않은 경우 t-검정을 수행할 수 있습니다. 동일한 표본 크기는 t-검정에서 가정된 가정 중 하나가 아닙니다.

실제 문제는 두 표본이 t-검정에서 가정한 가정 중 하나 인 등분산을 갖지 않을 때 발생합니다.

이 경우 등분산을 가정하지 않는 Welch의 t-검정을 대신 사용하는 것이 좋습니다.

다음 예에서는 분산이 동일할 때와 동일하지 않을 때 동일하지 않은 표본 크기를 사용하여 T 테스트를 수행하는 방법을 보여줍니다.

예 1: 동일하지 않은 표본 크기 및 등분산

학생들이 특정 시험에서 더 나은 성적을 낼 수 있도록 돕기 위해 고안된 두 가지 프로그램을 운영한다고 가정해 보겠습니다.

결과는 다음과 같습니다:

프로그램 1:

• n (샘플 크기): 500
• x (샘플 평균): 80
• s (표본 표준편차): 5

프로그램 2:

• n (샘플 크기): 20
• x (샘플 평균): 85
• s (표본 표준편차): 5

다음 코드는 각 프로그램의 시험 점수 분포를 시각화하기 위해 R에서 상자 그림을 만드는 방법을 보여줍니다.

 #make this example reproducible
set. seeds (1)

#create vectors to hold exam scores
program1 <- rnorm(500, mean=80, sd=5)
program2 <- rnorm(20, mean=85, sd=5)

#create boxplots to visualize distribution of exam scores
boxplot(program1, program2, names=c(" Program 1 "," Program 2 "))

프로그램 2의 평균 시험 점수는 더 높은 것으로 보이지만 두 프로그램 간의 시험 점수 차이는 거의 동일합니다.

다음 코드는 Welch의 t-검정을 사용하여 독립 표본 t-검정을 수행하는 방법을 보여줍니다.

 #perform independent samples t-test
t. test (program1, program2, var. equal = TRUE )

	Two Sample t-test

data: program1 and program2
t = -3.3348, df = 518, p-value = 0.0009148
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -6.111504 -1.580245
sample estimates:
mean of x mean of y 
 80.11322 83.95910

#perform Welch's two sample t-test
t. test (program1, program2, var. equal = FALSE )

	Welch Two Sample t-test

data: program1 and program2
t = -3.3735, df = 20.589, p-value = 0.00293
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -6.219551 -1.472199
sample estimates:
mean of x mean of y 
 80.11322 83.95910 

독립 표본 t-검정은 p-값 0.0009 를 반환하고 Welch의 t-검정은 p-값 0.0029 를 반환합니다.

각 테스트의 p-값이 0.05보다 작기 때문에 각 테스트에서 귀무 가설을 기각하고 두 프로그램 간의 평균 시험 점수에 통계적으로 유의미한 차이가 있다는 결론을 내립니다.

표본 크기가 동일하지 않더라도 독립 표본 t-검정과 Welch의 t-검정은 두 표본의 분산이 동일하므로 둘 다 비슷한 결과를 반환합니다.

예 2: 동일하지 않은 표본 크기 및 동일하지 않은 분산

학생들이 특정 시험에서 더 나은 성적을 낼 수 있도록 돕기 위해 고안된 두 가지 프로그램을 운영한다고 가정해 보겠습니다.

결과는 다음과 같습니다:

프로그램 1:

• n (샘플 크기): 500
• x (샘플 평균): 80
• s (표본 표준편차): 25

프로그램 2:

• n (샘플 크기): 20
• x (샘플 평균): 85
• s (표본 표준편차): 5

다음 코드는 각 프로그램의 시험 점수 분포를 시각화하기 위해 R에서 상자 그림을 만드는 방법을 보여줍니다.

 #make this example reproducible
set. seeds (1)

#create vectors to hold exam scores
program1 <- rnorm(500, mean=80, sd=25)
program2 <- rnorm(20, mean=85, sd=5)

#create boxplots to visualize distribution of exam scores
boxplot(program1, program2, names=c(" Program 1 "," Program 2 "))

프로그램 2의 평균 시험 점수는 더 높은 것으로 보이지만 프로그램 1의 시험 점수 분산은 프로그램 2의 것보다 훨씬 높습니다.

다음 코드는 Welch의 t-검정을 사용하여 독립 표본 t-검정을 수행하는 방법을 보여줍니다.

 #perform independent samples t-test
t. test (program1, program2, var. equal = TRUE )

	Two Sample t-test

data: program1 and program2
t = -0.5988, df = 518, p-value = 0.5496
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -14.52474 7.73875
sample estimates:
mean of x mean of y 
  80.5661 83.9591

#perform Welch's two sample t-test
t. test (program1, program2, var. equal = FALSE )

	Welch Two Sample t-test

data: program1 and program2
t = -2.1338, df = 74.934, p-value = 0.03613
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -6.560690 -0.225296
sample estimates:
mean of x mean of y 
  80.5661 83.9591 

독립 표본 t-검정은 p-값 0.5496 을 반환하고 Welch의 t-검정은 p-값 0.0361 을 반환합니다.

독립표본 t-검정은 평균 시험 점수의 차이를 탐지할 수 없지만 Welch의 t-검정은 통계적으로 유의한 차이를 탐지할 수 있습니다.

두 표본의 분산이 동일하지 않기 때문에 Welch의 t-검정만이 평균 시험 점수에서 통계적으로 유의미한 차이를 탐지할 수 있었습니다. 이 검정은 표본 간의 분산이 동일하다고 가정하지 않기 때문입니다 .

추가 리소스

다음 튜토리얼에서는 t-테스트에 대한 추가 정보를 제공합니다.

일표본 t-검정 소개
2표본 t 검정 소개
대응표본 t-검정 소개