Distribution de Poisson

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est la distribution de Poisson dans les statistiques et à quoi elle sert. Ainsi, vous trouverez la définition de la distribution de Poisson, des exemples de distributions de Poisson et quelles sont leurs propriétés. Enfin, vous pourrez calculer n’importe quelle probabilité de la distribution de Poisson avec un calculateur en ligne.

Qu’est-ce que la distribution de Poisson ?

La distribution de Poisson est une distribution de probabilité qui définit la probabilité qu’un nombre donné d’événements se produisent sur une période de temps.

Autrement dit, la distribution de Poisson sert à modéliser des variables aléatoires qui décrivent le nombre de fois qu’un phénomène se répète dans un intervalle de temps.

La distribution de Poisson a un paramètre caractéristique, représenté par la lettre grecque λ et indique le nombre de fois où l’événement étudié devrait se produire au cours d’un intervalle donné.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

En général, la distribution de Poisson est utilisée pour modéliser statistiquement des événements dont la probabilité d’occurrence est très faible. Ci-dessous vous pouvez voir plusieurs exemples de ce type de distribution de probabilité.

Exemples de distribution de Poisson

Après avoir vu la définition de la distribution de Poisson, voici plusieurs exemples de la distribution de Poisson.

Exemples de distribution de Poisson :

Le nombre de personnes qui entrent dans un magasin en une heure.
Le nombre de véhicules qui traversent la frontière entre deux pays au cours d’un mois.
Le nombre d’utilisateurs qui accèdent à une page Web au cours d’une journée.
Le nombre de pièces défectueuses produites par une usine pendant une journée.
Le nombre d’appels qu’un central téléphonique reçoit par minute.

Formule de distribution de Poisson

Dans une distribution de Poisson, la probabilité que x événements se produisent est égale au nombre e à la puissance -λ multiplié par λ à la puissance x et divisé par la factorielle de x .

Par conséquent, la formule pour calculer une probabilité d’une distribution de Poisson est la suivante :

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour calculer la probabilité d’une variable qui suit la distribution de Poisson.

La distribution de Poisson étant une distribution de probabilité discrète, pour déterminer une probabilité cumulée, vous devez trouver les probabilités de toutes les valeurs jusqu’à la valeur en question puis additionner toutes les probabilités calculées.

Exercice résolu sur la distribution de Poisson

Le nombre de produits vendus par une marque suit une distribution de Poisson de λ=5 unités/jour. Quelle est la probabilité qu’en une journée vous n’ayez vendu que 7 unités ? Et la probabilité qu’en une journée vous ayez vendu 3 unités ou moins ?

Pour obtenir les différentes probabilités que nous demande le problème, il faut appliquer la formule de distribution de Poisson (vue ci-dessus). Ainsi, en utilisant cette formule on calcule la probabilité de vendre 7 unités en une journée :

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

Deuxièmement, on nous demande de déterminer la probabilité cumulative de vendre 3 unités ou moins. Par conséquent, pour trouver cette probabilité, nous devons calculer la probabilité de vendre 1 unité, 2 unités et 3 unités séparément, puis les additionner.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Par conséquent, nous calculons d’abord chaque probabilité séparément :

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Ensuite, nous additionnons les trois probabilités calculées pour déterminer la probabilité de vendre trois unités ou moins en une journée.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Caractéristiques de la distribution de Poisson

Dans cette section, nous verrons quelles sont les caractéristiques de la distribution de Poisson.

La distribution de Poisson est définie par un seul paramètre caractéristique, λ, qui indique le nombre de fois où l’événement étudié devrait se produire pendant une certaine période de temps.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

La moyenne d’une distribution de Poisson est égale à son paramètre caractéristique λ.

$E[X]=\lambda$

De même, la variance d’une distribution de Poisson est équivalente à son paramètre caractéristique λ.

$Var(X)=\lambda$

Si λ est un entier, le mode de la distribution de Poisson est bimodal et ses valeurs sont λ et λ-1. Au lieu de cela, si λ n’est pas un entier, le mode de la distribution de Poisson est le plus grand entier inférieur ou égal à λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Il n’existe pas de formule spécifique pour déterminer la médiane d’une distribution de Poisson, mais vous pouvez connaître son intervalle :

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

La fonction de probabilité de la distribution de Poisson est la suivante :

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

L’ajout de variables aléatoires de Poisson indépendantes donne lieu à une autre variable aléatoire de Poisson dont le paramètre caractéristique est la somme des paramètres des variables d’origine.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Une distribution binomiale peut être approchée comme une distribution de Poisson si le nombre total d’observations est suffisamment grand (n≥100), λ étant le produit des deux paramètres caractéristiques de la distribution binomiale.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Voir : Caractéristiques de la distribution binomiale

Calculateur de distribution de Poisson

Branchez la valeur du paramètre λ et la valeur de x dans la calculatrice ci-dessous pour calculer la probabilité. Vous devez sélectionner la probabilité que vous souhaitez calculer et saisir les nombres en utilisant le point comme séparateur décimal, par exemple 0,1667.

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus