Hoe u een betrouwbaarheidsinterval voor een regressie-intercept kunt berekenen

Eenvoudige lineaire regressie wordt gebruikt om de relatie tussen een voorspellende variabele en een responsvariabele te kwantificeren.

Deze methode vindt een rij die het beste overeenkomt met een set gegevens en heeft de volgende vorm:

ŷ = _b0 + _b1 x

Goud:

• ŷ : De geschatte responswaarde
• b ₀ : De oorsprong van de regressielijn
• b ₁ : De helling van de regressielijn
• x : De waarde van de voorspellende variabele

We zijn vaak geïnteresseerd in de waarde van b ₁ , die ons de gemiddelde verandering in deresponsvariabele vertelt die gepaard gaat met een toename van één eenheid in de voorspellende variabele.

In zeldzame omstandigheden zijn we echter ook geïnteresseerd in de waarde van _b0 , die ons de gemiddelde waarde van de responsvariabele vertelt wanneer de voorspellende variabele nul is.

We kunnen de volgende formule gebruiken om een betrouwbaarheidsinterval te berekenen voor de waarde van β ₀ , de werkelijke populatieconstante:

Betrouwbaarheidsinterval voor β ₀ : b ₀ ± t _{α/2, n-2} * se(b ₀ )

Het volgende voorbeeld laat zien hoe u in de praktijk een betrouwbaarheidsinterval voor een intercept kunt berekenen.

Voorbeeld: betrouwbaarheidsinterval voor regressie-intercept

Stel dat we een eenvoudig lineair regressiemodel willen toepassen met bestudeerde uren als voorspellende variabele en examenscores als responsvariabele voor 15 leerlingen in een bepaalde klas:

De volgende code laat zien hoe dit eenvoudige lineaire regressiemodel in R past:

 #create data frame
df <- data. frame (hours=c(1, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 11, 11, 12, 12, 14),
                 score=c(64, 66, 76, 73, 74, 81, 83, 82, 80, 88, 84, 82, 91, 93, 89))

#fit simple linear regression model
fit <- lm(score ~ hours, data=df)

#view summary of model
summary(fit)

Call:
lm(formula = score ~ hours, data = df)

Residuals:
   Min 1Q Median 3Q Max 
-5,140 -3,219 -1,193 2,816 5,772 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 65,334 2,106 31,023 1.41e-13 ***
hours 1.982 0.248 7.995 2.25e-06 ***
---
Significant. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.641 on 13 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.831, Adjusted R-squared: 0.818 
F-statistic: 63.91 on 1 and 13 DF, p-value: 2.253e-06

Met behulp van de coëfficiëntschattingen in het resultaat kunnen we het gepaste eenvoudige lineaire regressiemodel als volgt schrijven:

Score = 65.334 + 1.982*(Uren bestudeerd)

De interceptwaarde is 65,334. Dit vertelt ons dat de geschatte gemiddelde examenscore voor een student die nul uur studeert 65.334 bedraagt.

We kunnen de volgende formule gebruiken om een betrouwbaarheidsinterval van 95% voor het snijpunt te berekenen:

• 95% BI voor β ₀ : b ₀ ± t _{α/2, n-2} * se(b ₀ )
• 95% BI voor β ₀ : 65,334 ± t _0,05/2,15-2 * 2,106
• 95% BI voor β ₀ : 65,334 ± 2,1604 * 2,106
• 95% BI voor β ₀ : [60,78, 69,88]

Wij interpreteren dit zo dat we er 95% zeker van zijn dat de daadwerkelijke gemiddelde examenscore van studenten die nul uur studeren tussen de 60,78 en 69,88 ligt.

Opmerking : We hebben de inverse t-verdelingscalculator gebruikt om de kritische t-waarde te vinden die overeenkomt met een betrouwbaarheidsniveau van 95% met 13 vrijheidsgraden.

Voorzorgsmaatregelen voor het berekenen van een betrouwbaarheidsinterval voor een regressie-intercept

In de praktijk berekenen we vaak geen betrouwbaarheidsinterval voor een regressie-intercept, omdat het meestal geen zin heeft om de waarde van het intercept in een modelregressie te interpreteren.

Stel dat we bijvoorbeeld een regressiemodel passen dat de lengte van een basketbalspeler gebruikt als voorspellende variabele en het aantal punten per wedstrijd als responsvariabele.

Het is niet mogelijk dat een speler nul voet lang is, dus het zou niet logisch zijn om de onderschepping in dit model letterlijk te interpreteren.

Er zijn talloze van dit soort scenario’s waarin een voorspellende variabele niet de waarde nul kan aannemen. Het heeft dus geen zin om de oorspronkelijke waarde van het model te interpreteren of een betrouwbaarheidsinterval voor de oorsprong te creëren.

Beschouw bijvoorbeeld de volgende potentiële voorspellende variabelen in een model:

• Oppervlakte van een huis
• Lengte van een auto
• Gewicht van een persoon

Elk van deze voorspellende variabelen kan niet de waarde nul aannemen. Het zou daarom in geen van deze omstandigheden zinvol zijn om een betrouwbaarheidsinterval voor de oorsprong van een regressiemodel te berekenen.

Aanvullende bronnen

De volgende zelfstudies bieden aanvullende informatie over lineaire regressie:

Inleiding tot eenvoudige lineaire regressie
Inleiding tot meervoudige lineaire regressie
Een regressietabel lezen en interpreteren
Hoe regressieresultaten te rapporteren