Een inleiding tot de exponentiële verdeling

De exponentiële verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling die wordt gebruikt om de tijd te modelleren die we moeten wachten totdat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt.

Deze verdeling kan worden gebruikt om vragen te beantwoorden zoals:

• Hoe lang moet een detailhandelaar wachten tot een klant zijn winkel binnenkomt?
• Hoe lang blijft een laptop werken voordat hij kapot gaat?
• Hoe lang blijft een auto-accu werken voordat deze leeg raakt?
• Hoe lang moeten we wachten tot de volgende vulkaanuitbarsting in een bepaalde regio?

Bij elk scenario willen we berekenen hoe lang we moeten wachten tot een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt. Elk scenario kan dus worden gemodelleerd met behulp van een exponentiële verdeling.

Exponentiële verdeling: PDF en CDF

Als een willekeurige variabele X een exponentiële verdeling volgt, kan de kansdichtheidsfunctie van X worden geschreven:

f (x; λ) = λe ^-λx

Goud:

• λ: de snelheidsparameter (berekend als λ = 1/μ)
• e: Een constante die ongeveer gelijk is aan 2,718

De cumulatieve verdelingsfunctie van

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

In de praktijk wordt de CDF meestal gebruikt om kansen te berekenen die verband houden met de exponentiële verdeling.

Stel bijvoorbeeld dat het gemiddelde aantal minuten tussen uitbarstingen van een bepaalde geiser 40 minuten bedraagt. Hoe waarschijnlijk is het dat we minder dan 50 minuten zullen moeten wachten op een uitbarsting?

Om dit probleem op te lossen, moeten we eerst de tariefparameter berekenen:

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

We kunnen λ = 0,025 en x = 50 in de CDF-formule pluggen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

De kans dat we minder dan 50 minuten zullen moeten wachten op de volgende uitbarsting is 0,7135 .

Visualiseer de exponentiële verdeling

De volgende grafiek toont de kansdichtheidsfunctie van een willekeurige variabele

En de volgende grafiek toont de cumulatieve verdelingsfunctie van een willekeurige variabele X die een exponentiële verdeling volgt met verschillende tariefparameters:

Opmerking: Bekijk deze tutorial om te leren hoe u een exponentiële verdeling in R kunt plotten.

Eigenschappen van exponentiële verdeling

De exponentiële verdeling heeft de volgende eigenschappen:

• Gemiddeld: 1 / λ
• Verschil: 1 / λ ²

Stel bijvoorbeeld dat het gemiddelde aantal minuten tussen uitbarstingen van een bepaalde geiser 40 minuten bedraagt. We zouden de snelheid berekenen als λ = 1/μ = 1/40 = 0,025.

We kunnen dan de volgende eigenschappen voor deze verdeling berekenen:

• Gemiddelde wachttijd voor de volgende uitbarsting: 1/λ = 1 /.025 = 40
• Variatie in wachttijden voor de volgende uitbarsting: 1/λ ² = 1 /.025 ² = 1600

Opmerking: De exponentiële verdeling heeft ook een geheugenloze eigenschap , wat betekent dat de waarschijnlijkheid dat een toekomstige gebeurtenis plaatsvindt niet wordt beïnvloed door het optreden van gebeurtenissen uit het verleden.

Praktische problemen met exponentiële verdeling

Gebruik de volgende oefenproblemen om uw kennis van de exponentiële verdeling te testen.

Vraag 1: Gemiddeld komt er elke twee minuten een nieuwe klant een winkel binnen. Nadat een klant arriveert, bepaalt u de kans dat er binnen een minuut een nieuwe klant arriveert.

Oplossing 1: De gemiddelde tijd tussen cliënten is twee minuten. Het tarief kan dus als volgt worden berekend:

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

We kunnen λ = 0,5 en x = 1 in de CDF-formule pluggen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

De kans dat we minder dan een minuut moeten wachten op de volgende klant is 0,3935 .

Vraag 2: In een bepaalde regio vindt gemiddeld elke 400 dagen een aardbeving plaats. Bepaal na een aardbeving de kans dat het meer dan 500 dagen duurt voordat de volgende aardbeving plaatsvindt.

Oplossing 2: De gemiddelde tijd tussen aardbevingen is 400 dagen. Het tarief kan dus als volgt worden berekend:

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

We kunnen λ = 0,0025 en x = 500 in de CDF-formule pluggen:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

De kans dat we minder dan 500 dagen zullen moeten wachten op de volgende aardbeving is 0,7135. De kans dat we meer dan 500 dagen moeten wachten op de volgende aardbeving is dus 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Vraag 3: Een callcenter krijgt gemiddeld elke 10 minuten een nieuwe oproep. Nadat een klant belt, bepaal je de kans dat een nieuwe klant binnen 10 tot 15 minuten belt.

Oplossing 3: De gemiddelde tijd tussen oproepen is 10 minuten. Het tarief kan dus als volgt worden berekend:

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Om de kans te berekenen dat een nieuwe klant binnen 10-15 minuten belt, kunnen we de volgende formule gebruiken:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

De kans dat een nieuwe klant binnen 10-15 minuten belt. bedraagt 0,1448 .

Aanvullende bronnen

De volgende tutorials bieden introducties tot andere veel voorkomende kansverdelingen.

Een inleiding tot de normale verdeling
Een inleiding tot de binominale verdeling
Een inleiding tot de Poisson-verdeling
Een inleiding tot uniforme distributie