Symmetrische verdeling: definitie + voorbeelden

In de statistieken is een symmetrische verdeling een verdeling waarbij de linker- en rechterkant elkaar spiegelen.

De bekendste symmetrische verdeling is de normale verdeling , die een duidelijke klokvorm heeft.

Als je een lijn door het midden van de verdeling zou trekken, zouden de linker- en rechterkant van de verdeling elkaar perfect weerspiegelen:

In de statistiek is scheefheid een manier om de symmetrie van een verdeling te beschrijven. Deze waarde kan negatief, nul of positief zijn.

Voor symmetrische verdelingen is de asymmetrie nul.

Dit staat in contrast met linksscheve verdelingen, die een negatieve scheefheid hebben:

Dit staat ook in contrast met rechtsscheve verdelingen, die een positieve scheefheid hebben:

Eigenschappen van symmetrische verdelingen

Bij een symmetrische verdeling zijn het gemiddelde, de mediaan en de modus allemaal gelijk.

Onthoud de volgende definities voor elk:

• Gemiddeld: de gemiddelde waarde.
• Mediaan: de gemiddelde waarde.
• Modus: de waarde die het vaakst voorkomt.

Bij een symmetrische verdeling is elk van deze waarden gelijk aan de ander.

In elk van de voorbeelden tot nu toe hebben we unimodale verdelingen als voorbeeld gebruikt – verdelingen met slechts één “piek”. Een verdeling kan echter ook bimodaal en symmetrisch zijn.

Een bimodale verdeling is een verdeling met twee pieken.

Merk op dat als we een lijn door het midden van deze verdeling trekken, de linker- en rechterkant nog steeds elkaar spiegelen.

Voor deze verdelingen zijn het gemiddelde en de mediaan gelijk. De modus ligt echter in beide hoekpunten.

Andere voorbeelden van symmetrische verdelingen

Naast de normale verdeling zijn de volgende verdelingen ook symmetrisch:

De distributie t

Uniforme verdeling

De Cauchy-verdeling

Als je een lijn door het midden van een van deze verdelingen zou trekken, zouden de linker- en rechterkant van elke verdeling elkaar perfect weerspiegelen.

Symmetrische verdelingen en de centrale limietstelling

Een van de belangrijkste stellingen in alle statistieken is de centrale limietstelling, die stelt dat de steekproefverdeling van een steekproefgemiddelde bij benadering normaal is als de steekproefomvang groot genoeg is, zelfs als de populatieverdeling niet normaal is .

Om de centrale limietstelling toe te passen, moet de steekproefomvang groot genoeg zijn. Het blijkt dat hoeveel mensen precies ‘groot genoeg’ zijn, afhangt van de onderliggende vorm van de bevolkingsverdeling.

Speciaal:

• Als de populatieverdeling symmetrisch is, is een steekproefomvang van slechts 15 soms voldoende.
• Als de populatieverdeling scheef is, is doorgaans een steekproef van ten minste 30 personen nodig.
• Als de populatieverdeling extreem scheef is, kan een steekproef van 40 of meer mensen nodig zijn.

Het voordeel van symmetrische verdelingen is dus dat we kleinere steekproefomvang nodig hebben om de centrale limietstelling toe te passen bij het berekenen van betrouwbaarheidsintervallen of het testen van hypothesen .

Aanvullende bronnen

Een inleiding tot de centrale limietstelling
Wat is een bimodale verdeling?
Een gids voor scheve verdelingen naar links en rechts