Reguła mnożenia

W tym artykule wyjaśniono, czym jest zasada mnożenia, zwana także regułą iloczynu, w teorii prawdopodobieństwa. Znajdziesz więc, jaki jest wzór na regułę mnożenia, przykłady obliczania prawdopodobieństwa za pomocą reguły mnożenia, a ponadto kilka rozwiązanych ćwiczeń do przećwiczenia.

Reguła mnożenia zależy od tego, czy zdarzenia są niezależne, czy zależne, dlatego najpierw zobaczymy, jak reguła wygląda dla zdarzeń niezależnych, a później dla zdarzeń zależnych.

Reguła mnożenia dla zdarzeń niezależnych

Pamiętaj, że niezależne zdarzenia są wynikami eksperymentu statystycznego, którego prawdopodobieństwo wystąpienia nie zależy od siebie. Innymi słowy, dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A nie zależy od wystąpienia zdarzenia B i odwrotnie.

Wzór na regułę mnożenia dla zdarzeń niezależnych

Zatem wzór na regułę mnożenia zdarzeń niezależnych jest następujący:

Złoto:

• 

  I

  

  To dwa niezależne zdarzenia.

• 

  jest łącznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A i zdarzenia B.

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A.

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia B.

Przykładowa reguła mnożenia dla zdarzeń niezależnych

• Monetą rzucamy trzy razy z rzędu. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia orła we wszystkich trzech rzutach.

W tym przypadku zdarzenia, dla których chcemy obliczyć łączne prawdopodobieństwo, są niezależne, ponieważ wynik losowania nie zależy od wyniku uzyskanego w poprzednim losowaniu. Dlatego, aby wyznaczyć łączne prawdopodobieństwo wyrzucenia trzech kolejnych orłów, należy skorzystać ze wzoru na regułę mnożenia dla zdarzeń niezależnych:

Kiedy rzucamy monetą, istnieją tylko dwa możliwe wyniki: możemy wyrzucić orła lub reszkę. Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia orła lub reszki podczas rzucania monetą wynosi:

Aby więc obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła we wszystkich trzech rzutach monetą, musimy pomnożyć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przez trzy:

Krótko mówiąc, prawdopodobieństwo wyrzucenia orła trzy razy z rzędu wynosi 12,5%.

Poniżej znajdują się wszystkie możliwe zdarzenia przedstawione wraz z ich prawdopodobieństwami na diagramie drzewa, w ten sposób można lepiej zobaczyć proces, który zastosowaliśmy, aby uzyskać łączne prawdopodobieństwo:

Reguła mnożenia dla zdarzeń zależnych

Teraz, gdy wiemy, jaka jest zasada mnożenia dla zdarzeń niezależnych, przyjrzyjmy się, jak to prawo wygląda dla zdarzeń zależnych, ponieważ wzór jest nieco inny.

Pamiętaj, że zdarzenia zależne są wynikami losowego eksperymentu, którego prawdopodobieństwo wystąpienia zależy od siebie. Oznacza to, że dwa zdarzenia są zależne, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego zdarzenia.

Wzór reguły mnożenia dla zdarzeń zależnych

Zatem wzór na regułę mnożenia zdarzeń zależnych wygląda następująco:

Złoto:

• 

  I

  

  Są to dwa zdarzenia zależne.

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A i zdarzenia B.

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A.

• 

  jest prawdopodobieństwem warunkowym wystąpienia zdarzenia B przy danym zdarzeniu A.

Przykładowa reguła mnożenia dla zdarzeń zależnych

• W pustym pudełku wkładamy 8 kul niebieskich, 4 pomarańczowe i 2 zielone. Jeśli najpierw losujemy jedną, potem drugą kulę, nie wkładając pierwszej wylosowanej do pudełka, jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula będzie niebieska, a druga pomarańczowa?

W tym przypadku zdarzenia są zależne, ponieważ prawdopodobieństwo podniesienia kulki pomarańczowej w drugim losowaniu zależy od koloru kulki wylosowanej w pierwszym losowaniu. Dlatego, aby obliczyć prawdopodobieństwo łączne, musimy skorzystać ze wzoru na regułę mnożenia dla zdarzeń zależnych:

Prawdopodobieństwo otrzymania niebieskiej kuli w pierwszym losowaniu jest łatwe do ustalenia, wystarczy podzielić liczbę niebieskich kul przez całkowitą liczbę kul:

Z drugiej strony prawdopodobieństwo wylosowania kulki pomarańczowej po wzięciu kulki niebieskiej jest obliczane inaczej, ponieważ liczba kul pomarańczowych jest inna, a dodatkowo w pudełku jest teraz o jedną kulę mniej:

Zatem łączne prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli niebieskiej, a następnie pomarańczowej oblicza się, mnożąc oba prawdopodobieństwa podane powyżej:

Rozwiązane ćwiczenia z reguły mnożenia

Ćwiczenie 1

W mieście działają tylko 3 przedszkola: 60% dzieci uczęszcza do przedszkola A, 30% do przedszkola B i 10% do przedszkola C. Dodatkowo w trzech ośrodkach 55% stanowią dziewczynki. Oblicz następujące prawdopodobieństwa:

• Prawdopodobieństwo, że w przypadku losowego wyboru dziecka z przedszkola B będzie to dziewczynka.
• Prawdopodobieństwo, że losowo wybrane dziecko z dowolnego przedszkola będzie chłopcem.

Jeżeli odsetek dziewcząt we wszystkich przedszkolach wynosi 55%, odsetek chłopców oblicza się, odejmując 1 minus 0,55:

Teraz, gdy znamy już wszystkie prawdopodobieństwa, możemy stworzyć drzewo zawierające prawdopodobieństwa wszystkich możliwości:

W tym przypadku zdarzenia są niezależne, ponieważ prawdopodobieństwo, że będzie to chłopiec czy dziewczynka, nie zależy od wybranego przedszkola. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo losowego wybrania dziewczynki z przedszkola B, należy pomnożyć prawdopodobieństwo wybrania przedszkola B przez prawdopodobieństwo wybrania dziewczynki:

Z drugiej strony, aby określić prawdopodobieństwo wybrania chłopca do dowolnego przedszkola, musimy najpierw obliczyć prawdopodobieństwo wybrania chłopca do każdego przedszkola, a następnie dodać je do siebie:

Ćwiczenie 2

Zbadano rok finansowy 25 spółek w danym kraju oraz to, jak zmieniają się ceny ich akcji w zależności od wyniku ekonomicznego roku. Zebrane dane można zobaczyć w poniższej tabeli awaryjnej:

Jakie jest prawdopodobieństwo, że firma osiągnie zysk, a jednocześnie odnotuje wzrost cen akcji?

W tym przypadku zdarzenia są zależne, ponieważ prawdopodobieństwo wzrostu lub spadku zapasów zależy od wyniku ekonomicznego. Dlatego musimy zastosować formułę reguły mnożenia dla zdarzeń zależnych:

Dlatego najpierw obliczamy prawdopodobieństwo, że spółka osiągnie zysk, a po drugie, prawdopodobieństwo, że akcje spółki wzrosną, gdy osiągnie ona zysk ekonomiczny:

Następnie podstawiamy obliczone wartości do wzoru i obliczamy łączne prawdopodobieństwo: