Twierdzenie o całkowitym prawdopodobieństwie

W tym artykule wyjaśniono, czym jest twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i do czego jest wykorzystywane w prawdopodobieństwie i statystyce. Znajdziesz więc wzór na twierdzenie o całkowitym prawdopodobieństwie, rozwiązane ćwiczenia i kiedy stosuje się twierdzenie o całkowitym prawdopodobieństwie.

Jakie jest twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym?

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym jest prawem umożliwiającym obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia niebędącego częścią przestrzeni próbnej na podstawie prawdopodobieństw warunkowych wszystkich zdarzeń w tej przestrzeni próbnej.

Zatem twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym służy do obliczenia prawdopodobieństwa określonego zdarzenia na podstawie częściowych informacji o tym zdarzeniu. Czasami nie możemy określić prawdopodobieństwa zdarzenia bezpośrednio stosując regułę Laplace’a, ponieważ nie mamy wszystkich niezbędnych informacji. Jeśli jednak znamy dane dotyczące tego zdarzenia w porównaniu z innymi zdarzeniami, zwykle przydatne jest twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

Krótko mówiąc, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym stosuje się, gdy chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ale posiadamy o nim informacje tylko pod pewnymi warunkami. Na przykład niektóre zastosowania tego twierdzenia obejmują eksperymenty z wieloma przypadkami, teorię kolejek i analizę przeżycia.

Wzór na twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym mówi, że biorąc pod uwagę zbiór zdarzeń {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } tworzących podział przestrzeni próbek, prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe sumie iloczynów prawdopodobieństwa każdego zdarzenie P(A _i ) przez prawdopodobieństwo warunkowe P(B|A _i ).

Zatem wzór na twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym jest następujący:

Złoto:

• 

  jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia B.

• 

  jest prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B przy danym zdarzeniu A _i .

• 

  jest prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A _i .

Należy pamiętać, że z prawdopodobieństwa podział przestrzeni próbki definiuje się jako zbiór wzajemnie niezgodnych zdarzeń, których suma tworzy przestrzeń próbki.

Konkretny przykład twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym

Po zapoznaniu się z definicją twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym i jego wzorem, zobaczymy rozwiązane ćwiczenie dotyczące obliczania prawdopodobieństwa za pomocą twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, aby lepiej zrozumieć jego znaczenie.

• W sklepie z elektroniką sprzedawane są telewizory trzech marek: X, Y, Z. Szacuje się, że 20% sprzedaży stanowią telewizory markowe, % wadliwe marki, a 4% telewizory marki Z. telewizory są uszkodzone. Jakie jest prawdopodobieństwo zakupu wadliwego telewizora?

Opis problemu podaje nam prawdopodobieństwo, że klient kupi telewizor każdej marki:

• Zdarzenie A ₁ : Klient kupuje markowy _telewizor
• Zdarzenie A ₂ : Klient kupuje telewizor marki Y → P(A ₂ )=0,50
• Zdarzenie A ₃ : Klient kupuje markę telewizyjną Z → P(A ₃ )=0,30

Dodatkowo zestawienie ćwiczeń podaje nam również prawdopodobieństwo, że telewizor każdej marki jest uszkodzony:

Zdarzenie B: Telewizor jest uszkodzony

• B|A ₁ : Telewizor marki X jest uszkodzony → P(B|A ₁ )=0,05
• B|A ₂ : Biorąc pod uwagę markę telewizora Y, telewizor jest uszkodzony → P(B|A ₂ )=0,03
• B|A ₃ : Telewizor marki Z jest uszkodzony → P(B|A ₃ )=0,04

Zatem drzewo prawdopodobieństwa problemu wygląda następująco:

Aby więc obliczyć prawdopodobieństwo zakupu wadliwego telewizora, musimy skorzystać ze wzoru na regułę całkowitego prawdopodobieństwa:

W naszym przypadku przestrzeń próbek składa się z trzech zdarzeń (A ₁ , A ₂ i A ₃ ), więc wzór na twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym jest następujący:

Wystarczy zatem zastąpić prawdopodobieństwa poprzedniego wyrażenia, aby znaleźć prawdopodobieństwo zakupu wadliwego telewizora:

Podsumowując, istnieje 3,7% prawdopodobieństwo, że kupimy telewizor i będzie on uszkodzony.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i twierdzenie Bayesa

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i twierdzenie Bayesa to dwa ważne twierdzenia teorii prawdopodobieństwa, szczególnie dlatego, że pozwalają nam obliczać prawdopodobieństwa na podstawie wartości prawdopodobieństwa warunkowego.

Twierdzenie Bayesa jest prawem teorii prawdopodobieństwa używanym do obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia, gdy znana jest a priori informacja o tym zdarzeniu.

W szczególności twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i twierdzenie Bayesa są ze sobą powiązane, w rzeczywistości mianownik wzoru twierdzenia Bayesa jest równoważny formule twierdzenia o całkowitym prawdopodobieństwie.

Kliknij poniższy link, aby zobaczyć, czym jest twierdzenie Bayesa i przykłady jego zastosowania: