Regresja wielomianowa w r (krok po kroku)

Regresja wielomianowa to technika, którą możemy zastosować, gdy związek między zmienną predykcyjną a zmienną odpowiedzi jest nieliniowy.

Ten typ regresji ma postać:

Y = β ₀ ⁺ β ₁ X + β ₂ X ² + … + β _godz

gdzie h jest „stopniem” wielomianu.

W tym samouczku przedstawiono krok po kroku przykład wykonania regresji wielomianowej w języku R.

Krok 1: Utwórz dane

Na potrzeby tego przykładu utworzymy zbiór danych zawierający liczbę przepracowanych godzin i ocenę końcową z egzaminu dla klasy liczącej 50 uczniów:

 #make this example reproducible
set.seed(1)

#create dataset
df <- data.frame(hours = runif (50, 5, 15), score=50)
df$score = df$score + df$hours^3/150 + df$hours* runif (50, 1, 2)

#view first six rows of data
head(data)

      hours score
1 7.655087 64.30191
2 8.721239 70.65430
3 10.728534 73.66114
4 14.082078 86.14630
5 7.016819 59.81595
6 13.983897 83.60510

Krok 2: Wizualizuj dane

Zanim dopasujemy model regresji do danych, utwórzmy najpierw wykres rozrzutu, aby zwizualizować związek między przestudiowanymi godzinami a wynikiem egzaminu:

 library (ggplot2)

ggplot(df, aes (x=hours, y=score)) +
  geom_point() 

Widzimy, że dane mają lekko kwadratową zależność, co wskazuje, że regresja wielomianowa może lepiej dopasować dane niż zwykła regresja liniowa.

Krok 3: Dopasuj modele regresji wielomianowej

Następnie dopasujemy pięć różnych modeli regresji wielomianowej o stopniach h = 1…5 i zastosujemy k-krotną weryfikację krzyżową z k = 10 razy, aby obliczyć test MSE dla każdego modelu:

 #randomly shuffle data
df.shuffled <- df[ sample ( nrow (df)),]

#define number of folds to use for k-fold cross-validation
K <- 10 

#define degree of polynomials to fit
degree <- 5

#create k equal-sized folds
folds <- cut( seq (1, nrow (df.shuffled)), breaks=K, labels= FALSE )

#create object to hold MSE's of models
mse = matrix(data=NA,nrow=K,ncol=degree)

#Perform K-fold cross validation
for (i in 1:K){
    
#define training and testing data
testIndexes <- which (folds==i,arr.ind= TRUE )
    testData <- df.shuffled[testIndexes, ]
    trainData <- df.shuffled[-testIndexes, ]
    
#use k-fold cv to evaluate models
for (j in 1:degree){
        fit.train = lm (score ~ poly (hours,d), data=trainData)
        fit.test = predict (fit.train, newdata=testData)
        mse[i,j] = mean ((fit.test-testData$score)^2) 
    }
}

#find MSE for each degree 
colMeans(mse)

[1] 9.802397 8.748666 9.601865 10.592569 13.545547

Z wyniku możemy zobaczyć test MSE dla każdego modelu:

• Test MSE ze stopniem h = 1: 9,80
• Test MSE ze stopniem h = 2: 8,75
• Test MSE ze stopniem h = 3: 9,60
• Test MSE ze stopniem h = 4: 10,59
• Test MSE ze stopniem h = 5: 13,55

Modelem o najniższym teście MSE okazał się model regresji wielomianowej o stopniu h = 2.

Odpowiada to naszej intuicji z pierwotnego wykresu rozrzutu: model regresji kwadratowej najlepiej pasuje do danych.

Krok 4: Przeanalizuj ostateczny model

Wreszcie możemy uzyskać współczynniki modelu o najlepszych wynikach:

 #fit best model
best = lm (score ~ poly (hours,2, raw= T ), data=df)

#view summary of best model
summary(best)

Call:
lm(formula = score ~ poly(hours, 2, raw = T), data = df)

Residuals:
    Min 1Q Median 3Q Max 
-5.6589 -2.0770 -0.4599 2.5923 4.5122 

Coefficients:
                         Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 54.00526 5.52855 9.768 6.78e-13 ***
poly(hours, 2, raw = T)1 -0.07904 1.15413 -0.068 0.94569    
poly(hours, 2, raw = T)2 0.18596 0.05724 3.249 0.00214 ** 
---
Significant. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Na podstawie wyniku widzimy, że ostatecznie dopasowany model to:

Wynik = 54,00526 – 0,07904*(godziny) + 0,18596*(godziny) ²

Możemy użyć tego równania do oszacowania wyniku, jaki otrzyma student na podstawie liczby przestudiowanych godzin.

Przykładowo student studiujący 10 godzin powinien otrzymać ocenę 71,81 :

Wynik = 54,00526 – 0,07904*(10) + 0,18596*(10) ² = 71,81

Możemy również wykreślić dopasowany model, aby sprawdzić, jak dobrze pasuje do surowych danych:

 ggplot(df, aes (x=hours, y=score)) + 
          geom_point() +
          stat_smooth(method=' lm ', formula = y ~ poly (x,2), size = 1) + 
          xlab(' Hours Studied ') +
          ylab(' Score ') 

Pełny kod R użyty w tym przykładzie znajdziesz tutaj .