Écart type de la population par rapport à l’échantillon : quand utiliser chacun

L’écart type est l’un des moyens les plus courants de mesurer la répartition des valeurs dans un ensemble de données.

Il s’avère qu’il existe deux types différents d’écarts types que vous pouvez calculer, en fonction du type de données avec lequel vous travaillez.

1. Écart type de la population

Vous devez calculer l’écart type de la population lorsque l’ensemble de données avec lequel vous travaillez représente une population entière, c’est-à-dire chaque valeur qui vous intéresse.

La formule pour calculer un écart type de population, noté σ, est :

σ = √ Σ(x _je – μ) ² / N

où:

• Σ : Un symbole qui signifie « somme »
• x _i : La i ^ème valeur dans un ensemble de données
• μ : La moyenne de la population
• N : La taille de la population

2. Exemple d’écart type

Vous devez calculer l’écart type de l’échantillon lorsque l’ensemble de données avec lequel vous travaillez représente un échantillon prélevé sur une population d’intérêt plus large.

La formule pour calculer un écart type d’échantillon, noté s , est :

s = √ Σ(x _je – x̄) ² / (n – 1)

où:

• Σ : Un symbole qui signifie « somme »
• x _i : La i ^ème valeur dans un ensemble de données
• x̄ : La moyenne de l’échantillon
• n : La taille de l’échantillon

Écart type de la population par rapport à l’échantillon : la différence

À partir des formules ci-dessus, nous pouvons voir qu’il existe une infime différence entre la population et l’écart type de l’échantillon : lors du calcul de l’écart type de l’échantillon, nous avons divisé par n-1 au lieu de N.

La raison en est que lorsque nous calculons l’écart type de l’échantillon, nous avons tendance à sous-estimer la véritable variabilité de la population. En d’autres termes, notre estimation du véritable écart type de la population est biaisée.*

Pour corriger ce biais, on divise par n-1. Il a été démontré que cela fait de l’écart type de l’échantillon une estimation impartiale de l’écart type de la population.

*La preuve de ceci dépasse le cadre de cet article. Pour une preuve mathématique, reportez-vous à cet article de Stack Exchange.

Écart type de la population par rapport à l’échantillon : quand utiliser chacun

Utilisez les problèmes pratiques suivants pour mieux comprendre quand vous devez utiliser l’écart type de la population par rapport à l’échantillon.

Problème pratique 1 : Sports

Supposons qu’un entraîneur de basket-ball veuille résumer la moyenne et l’écart type des points marqués par les 12 joueurs de son équipe.

Lors du calcul de l’écart type des points marqués, doit-il utiliser la formule d’écart type de la population ou de l’échantillon ?

Réponse : Il doit utiliser l’ écart type de la population car il ne s’intéresse qu’aux points marqués par ses joueurs et non aux autres joueurs d’une autre équipe.

Problème pratique 2 : hauteur

Supposons qu’un professeur de gymnastique veuille résumer la moyenne et l’écart type des tailles des élèves de sa classe.

Lors du calcul de l’écart type de la taille, doit-il utiliser la formule de l’écart type de la population ou de l’échantillon ?

Réponse : Il devrait utiliser l’ écart type de la population car il ne s’intéresse qu’à la taille des élèves de cette classe particulière.

Problème pratique 3 : Biologie

Supposons qu’un biologiste veuille résumer la moyenne et l’écart type du poids d’une espèce particulière de tortues. Elle décide de sortir et de prélever un simple échantillon aléatoire de 20 tortues de la population.

Lors du calcul de l’écart type des poids, doit-elle utiliser la formule de l’écart type de la population ou de l’échantillon ?

Réponse : Elle devrait utiliser l’ écart type de l’échantillon car elle s’intéresse au poids de l’ensemble de la population de tortues, et pas seulement au poids des tortues de son échantillon.

Problème pratique 4 : Fabrication

Supposons qu’un inspecteur souhaite résumer la moyenne et l’écart type du poids des pneus produits dans une certaine usine. Il décide de prélever un simple échantillon aléatoire de 40 pneus de l’usine et les pèse chacun.

Lors du calcul de l’écart type des poids, doit-il utiliser la formule de l’écart type de la population ou de l’échantillon ?

Réponse : Il doit utiliser l’ écart type de l’échantillon car il s’intéresse au poids de tous les pneus produits dans cette usine, et pas seulement au poids des pneus de son échantillon.

Ressources additionnelles

Les didacticiels suivants fournissent des informations supplémentaires sur l’écart type :

Pourquoi l’écart type est-il important ?
Qu’est-ce qui est considéré comme un bon écart type ?
6 exemples d’utilisation de l’écart type dans la vie réelle
Coefficient de variation par rapport à l’écart type : la différence