Comment trouver la probabilité « au moins deux » Succès

Nous pouvons utiliser la formule générale suivante pour trouver la probabilité d’au moins deux succès dans une série d’essais :

P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success) 

Dans la formule ci-dessus, nous pouvons calculer chaque probabilité en utilisant la formule suivante pour la distribution binomiale :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

où:

• n : nombre d’essais
• k : nombre de réussites
• p : probabilité de succès sur un essai donné
• _n C _k : le nombre de façons d’obtenir k succès dans n essais

Les exemples suivants montrent comment utiliser cette formule pour trouver la probabilité d’« au moins deux » succès dans différents scénarios.

Exemple 1 : tentatives de lancer franc

Ty réussit 25 % de ses tentatives de lancer franc. S’il tente 5 lancers francs, trouvez la probabilité qu’il en réalise au moins deux.

Tout d’abord, calculons la probabilité qu’il fasse exactement zéro lancer franc ou exactement un lancer franc :

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Ensuite, insérons ces valeurs dans la formule suivante pour trouver la probabilité que Ty réalise au moins deux lancers francs :

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

La probabilité que Ty réussisse au moins deux lancers francs en cinq tentatives est de 0,3673 .

Exemple 2 : Widgets

Dans une usine donnée, 2 % de tous les widgets sont défectueux. Dans un échantillon aléatoire de 10 widgets, déterminez la probabilité qu’au moins deux soient défectueux.

Tout d’abord, calculons la probabilité qu’exactement zéro ou exactement un soit défectueux :

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Ensuite, insérons ces valeurs dans la formule suivante pour trouver la probabilité qu’au moins deux widgets soient défectueux :

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

La probabilité qu’au moins deux widgets soient défectueux dans cet échantillon aléatoire de 10 est de 0,0162 .

Exemple 3 : Questions triviales

Bob répond correctement à 60 % des questions triviales. Si nous lui posons 5 questions triviales, trouvez la probabilité qu’il réponde correctement à au moins deux.

Tout d’abord, calculons la probabilité qu’il réponde exactement à zéro ou exactement à un :

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Ensuite, insérons ces valeurs dans la formule suivante pour trouver la probabilité qu’il réponde correctement à au moins deux questions :

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

La probabilité qu’il réponde correctement à au moins deux questions sur cinq est de 0,91296 .

Bonus : Calculateur de probabilité d' »au moins deux »

Utilisez cette calculatrice pour trouver automatiquement la probabilité d’« au moins deux » succès, en fonction de la probabilité de succès dans un essai donné et du nombre total d’essais.