Comment trouver la probabilité d’au moins un ? Succès

La probabilité nous indique la probabilité qu’un événement se produise.

Par exemple, supposons que 4 % de tous les élèves d’une certaine école préfèrent les mathématiques comme matière préférée. Si nous sélectionnons un élève au hasard, la probabilité qu’il préfère les mathématiques serait de 4 %.

Mais nous nous intéressons souvent aux probabilités impliquant plusieurs essais. Par exemple, si nous sélectionnons trois élèves au hasard, quelle est la probabilité qu’au moins un d’entre eux préfère les mathématiques ?

Nous pouvons utiliser les étapes suivantes pour répondre à cette question :

1. Trouvez la probabilité qu’un élève ne préfère pas les mathématiques.

Nous savons que la probabilité qu’un élève préfère les mathématiques est P (préfère les mathématiques) = 0,04.

Ainsi, la probabilité qu’un élève ne préfère pas les mathématiques est P(ne préfère pas les mathématiques) = 0,96.

2. Trouvez la probabilité que tous les élèves sélectionnés ne préfèrent pas les mathématiques.

Puisque la probabilité que chaque élève préfère les mathématiques est indépendante les unes des autres, nous pouvons simplement multiplier les probabilités individuelles entre elles :

P(tous les élèves ne préfèrent pas les mathématiques) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.

Cela représente la probabilité que les trois élèves ne préfèrent pas les mathématiques comme matière préférée.

3. Trouvez la probabilité qu’au moins un élève préfère les mathématiques.

Enfin, la probabilité qu’au moins un élève préfère les mathématiques se calcule comme suit :

P(au moins un préfère les mathématiques) = 1 – P(tous ne préfèrent pas les mathématiques) = 1 – .8847 = .1153 .

Il s’avère que nous pouvons utiliser la formule générale suivante pour trouver la probabilité d’au moins un succès dans une série d’essais :

P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial)n

Dans la formule ci-dessus, n représente le nombre total d’essais.

Par exemple, nous aurions pu utiliser cette formule pour trouver la probabilité qu’au moins un élève d’un échantillon aléatoire de trois préfère les mathématiques comme matière préférée :

P (au moins un élève préfère les mathématiques) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Cela correspond à la réponse que nous avons obtenue en utilisant le processus en trois étapes ci-dessus.

Utilisez les exemples suivants comme entraînement supplémentaire pour déterminer la probabilité d’« au moins un » succès.

Connexes : Comment trouver la probabilité d’« au moins deux » succès

Exemple 1 : tentatives de lancer franc

Mike réussit 20 % de ses tentatives de lancer franc. S’il tente 5 lancers francs, trouvez la probabilité qu’il en réalise au moins un.

Solution:

• P(fait au moins une) = 1 – P(manque une tentative donnée) ⁿ
• P(fait au moins un) = 1 – (0,80) ⁵
• P(fait au moins un) = 0,672

La probabilité que Mike réussisse au moins un lancer franc sur cinq tentatives est de 0,672 .

Exemple 2 : Widgets

Dans une usine donnée, 2 % de tous les widgets sont défectueux. Dans un échantillon aléatoire de 10 widgets, déterminez la probabilité qu’au moins un soit défectueux.

Solution:

• P (au moins un défectueux) = 1 – P (le widget donné n’est pas défectueux) ⁿ
• P(au moins un défectueux) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(au moins un défectueux) = 0,183

La probabilité qu’au moins un widget soit défectueux dans un échantillon aléatoire de 10 est de 0,183 .

Exemple 3 : Questions triviales

Bob répond correctement à 75 % des questions triviales. Si nous lui posons 3 questions triviales, trouvez la probabilité qu’il réponde incorrectement à au moins une.

Solution:

• P(au moins une mauvaise) = 1 – P(la réponse donnée est correcte) ⁿ
• P (au moins un incorrect) = 1 – (0,75) ³
• P (au moins un incorrect) = 0,578

La probabilité qu’il réponde incorrectement à au moins une question est de 0,578 .

Bonus : Calculateur de probabilité d' »au moins un »

Utilisez cette calculatrice pour trouver automatiquement la probabilité de « au moins un » succès, en fonction de la probabilité de succès dans un essai donné et du nombre total d’essais.