Comment trouver la probabilité de A et B : avec des exemples

Étant donné deux événements, A et B, « trouver la probabilité de A et B » signifie trouver la probabilité que l’événement A et l’événement B se produisent tous les deux .

Nous écrivons généralement cette probabilité de deux manières :

• P(A et B) – Forme écrite
• P(A∩B) – Forme de notation

La façon dont nous calculons cette probabilité dépend du fait que les événements A et B sont indépendants ou dépendants.

Si A et B sont indépendants , alors la formule que nous utilisons pour calculer P(A∩B) est simplement :

Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Si A et B sont dépendants , alors la formule que nous utilisons pour calculer P(A∩B) est :

Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Notez que P(B|A) est la probabilité conditionnelle que l’événement B se produise, étant donné   l’événement A se produit.

Les exemples suivants montrent comment utiliser ces formules dans la pratique.

Exemples de P(A∩B) pour les événements indépendants

Les exemples suivants montrent comment calculer P(A∩B) lorsque A et B sont des événements indépendants.

Exemple 1 : La probabilité que votre équipe de baseball préférée remporte les World Series est de 1/30 et la probabilité que votre équipe de football préférée remporte le Super Bowl est de 1/32. Quelle est la probabilité que vos deux équipes préférées remportent leurs championnats respectifs ?

Solution : Dans cet exemple, la probabilité que chaque événement se produise est indépendante de l’autre. Ainsi, la probabilité que les deux se produisent est calculée comme suit :

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104.

Exemple 2 : Vous lancez un dé et lancez une pièce en même temps. Quelle est la probabilité que le dé tombe sur 4 et que la pièce tombe sur pile ?

Solution : Dans cet exemple, la probabilité que chaque événement se produise est indépendante de l’autre. Ainsi, la probabilité que les deux se produisent est calculée comme suit :

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Exemples de P(A∩B) pour les événements dépendants

Les exemples suivants montrent comment calculer P(A∩B) lorsque A et B sont des événements dépendants.

Exemple 1 : Une urne contient 4 boules rouges et 4 boules vertes. Vous choisissez au hasard une boule dans l’urne. Ensuite, sans remplacement, vous sélectionnez une autre boule. Quelle est la probabilité que vous choisissiez une boule rouge à chaque fois ?

Solution : Dans cet exemple, la couleur de la boule que l’on choisit la première fois affecte la probabilité de choisir une boule rouge la deuxième fois. Les deux événements sont donc dépendants.

Définissons l’événement A comme la probabilité de sélectionner une boule rouge la première fois. Cette probabilité est P(A) = 4/8. Ensuite, nous devons trouver la probabilité de sélectionner à nouveau une boule rouge, étant donné que la première boule était rouge. Dans ce cas, il ne reste que 3 boules rouges à choisir et seulement 7 boules au total dans l’urne. Ainsi, P(B|A) vaut 3/7.

Ainsi, la probabilité que nous sélectionnions une boule rouge à chaque fois serait calculée comme suit :

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Exemple 2 : Dans une certaine classe, il y a 15 garçons et 12 filles. Supposons que nous placions les noms de chaque élève dans un sac. Nous choisissons au hasard un nom dans le sac. Ensuite, sans remplacement, on choisit un autre nom. Quelle est la probabilité que les deux prénoms soient des garçons ?

Solution : Dans cet exemple, le prénom que nous choisissons la première fois affecte la probabilité de choisir un prénom de garçon lors du deuxième tirage. Les deux événements sont donc dépendants.

Définissons l’événement A comme la probabilité de sélectionner un garçon pour la première fois. Cette probabilité est P(A) = 15/27. Ensuite, il faut trouver la probabilité de sélectionner à nouveau un garçon, étant donné que le prénom était un garçon. Dans ce cas, il ne reste que 14 garçons à choisir et seulement 26 noms au total dans le sac. Ainsi, P(B|A) vaut 14/26.

Ainsi, la probabilité que nous sélectionnions un prénom de garçon à chaque fois serait calculée comme suit :

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.