Comment trouver la probabilité de A ou B : avec des exemples

Étant donné deux événements, A et B, « trouver la probabilité de A ou de B » signifie trouver la probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise .

Nous écrivons généralement cette probabilité de deux manières :

• P(A ou B) – Forme écrite
• P(A∪B) – Forme de notation

La façon dont nous calculons cette probabilité dépend du fait que les événements A et B s’excluent mutuellement ou non. Deux événements s’excluent mutuellement s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Si A et B s’excluent mutuellement , alors la formule que nous utilisons pour calculer P(A∪B) est :

Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Si A et B ne s’excluent pas mutuellement , alors la formule que nous utilisons pour calculer P(A∪B) est :

Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Notez que P(A∩B) est la probabilité que l’événement A et l’événement B se produisent tous deux.

Les exemples suivants montrent comment utiliser ces formules dans la pratique.

Exemples : P(A∪B) pour les événements mutuellement exclusifs

Exemple 1 : Quelle est la probabilité de lancer un dé et d’obtenir un 2 ou un 5 ?

Solution : Si nous définissons l’événement A comme l’obtention d’un 2 et l’événement B comme l’obtention d’un 5, alors ces deux événements s’excluent mutuellement car nous ne pouvons pas obtenir un 2 et un 5 en même temps. Ainsi, la probabilité que nous obtenions un 2 ou un 5 est calculée comme suit :

P(A∪B) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.

Exemple 2 : Supposons qu’une urne contienne 3 boules rouges, 2 boules vertes et 5 boules jaunes. Si nous sélectionnons une boule au hasard, quelle est la probabilité de sélectionner une boule rouge ou une boule verte ?

Solution : Si nous définissons l’événement A comme la sélection d’une boule rouge et l’événement B comme la sélection d’une boule verte, alors ces deux événements s’excluent mutuellement car nous ne pouvons pas sélectionner une boule à la fois rouge et verte. Ainsi, la probabilité que nous sélectionnions une boule rouge ou verte est calculée comme suit :

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.

Exemples : P(A ∪ B) pour les événements non mutuellement exclusifs

Les exemples suivants montrent comment calculer P(A∪B) lorsque A et B ne sont pas des événements mutuellement exclusifs.

Exemple 1 : Si nous sélectionnons au hasard une carte dans un jeu standard de 52 cartes, quelle est la probabilité de choisir soit un pique, soit une reine ?

Solution : Dans cet exemple, il est possible de choisir une carte qui est à la fois un Pique et une Dame, ces deux événements ne s’excluent donc pas mutuellement.

Si nous laissons l’événement A être l’événement du choix d’un pique et l’événement B l’événement du choix d’une reine, alors nous avons les probabilités suivantes :

• P(A) = 13/52
• P(B) = 4/52
• P(UNE∩B) = 1/52

Ainsi, la probabilité de choisir soit un pique, soit une reine est calculée comme suit :

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

Exemple 2 : Si on lance un dé, quelle est la probabilité qu’il tombe sur un nombre supérieur à 3 ou un nombre pair ?

Solution : Dans cet exemple, il est possible que les dés atterrissent sur un nombre à la fois supérieur à 3 et pair, ces deux événements ne s’excluent donc pas mutuellement.

Si nous laissons l’événement A être l’événement consistant à obtenir un nombre supérieur à 3 et l’événement B l’événement consistant à obtenir un nombre pair, alors nous avons les probabilités suivantes :

• P(A) = 3/6
• P(B) = 3/6
• P(UNE∩B) = 2/6

Ainsi, la probabilité que le dé tombe sur un nombre supérieur à 3 ou un nombre pair se calcule comme suit :

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.