Qu’est-ce que la propriété sans mémoire ? (Définition & #038; Exemple)

En statistique, on dit qu’une distribution de probabilité a une propriété sans mémoire si la probabilité qu’un événement futur se produise n’est pas affectée par l’occurrence d’événements passés.

Il n’existe que deux distributions de probabilité possédant la propriété sans mémoire :

• La distribution exponentielle avec des nombres réels non négatifs.
• La distribution géométrique avec des entiers non négatifs.

Ces deux distributions de probabilité sont utilisées pour modéliser le temps attendu avant qu’un événement ne se produise.

Il s’avère qu’à un moment donné, savoir combien de temps s’est déjà écoulé ne nous informe pas réellement si un événement est plus susceptible de se produire tôt ou tard.

Les exemples suivants nous aident à avoir une meilleure intuition de la propriété sans mémoire.

Une intuition de la propriété sans mémoire

Considérez les exemples suivants :

Pas sans mémoire

On sait qu’une certaine marque d’ordinateurs portables dure en moyenne environ 6 ans avant de mourir. Ainsi, si nous savons qu’un ordinateur portable particulier a 5 ans, le temps prévu jusqu’à sa mort est assez court. Cependant, si un autre ordinateur portable n’a que 1 an, le temps prévu jusqu’à sa mort est assez long.

Dans cet exemple, connaître le temps qui s’est écoulé au cours de la durée de vie de chaque ordinateur portable nous informe sur la durée pendant laquelle l’ordinateur portable continuera à fonctionner jusqu’à sa mort. Ainsi, cette distribution de probabilité n’aurait pas de propriété sans mémoire.

Sans mémoire

Supposons que Jessica possède un dépanneur. Elle veut savoir combien de temps elle devra attendre jusqu’à ce que le prochain client entre dans le magasin.

Dans cet exemple, savoir quand le dernier client est entré dans le magasin n’est pas réellement utile pour prédire quand le prochain client entrera, car chaque client est indépendant et présente un comportement individuel.

Ainsi, cette distribution de probabilité aurait une propriété sans mémoire. En d’autres termes, la probabilité qu’un événement futur se produise n’est pas affectée par la survenance d’événements passés.

La propriété sans mémoire : une définition formelle

En termes statistiques formels, on dit qu’une variable aléatoire X suit une distribution de probabilité avec une propriété sans mémoire si pour a et b   dans {0, 1, 2, …} c’est vrai que :

Pr(X > une + b | X ≥ une ) = Pr(X > b )

Par exemple, supposons que nous ayons une distribution de probabilité avec une propriété sans mémoire et que X soit le nombre d’essais jusqu’au premier succès. Si a = 30 et b = 10 alors nous dirions :

• Pr(X > une + b | X ≥ une ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

En d’autres termes, si nous avons eu 30 essais sans succès, alors la probabilité que nous devions attendre jusqu’à l’essai n°40 ou plus pour connaître un succès est la même que la probabilité de repartir de zéro et d’attendre jusqu’à l’essai n°10. ou plus pour connaître un succès.

Étant donné que cette distribution de probabilité a une propriété sans mémoire, cela signifie que connaître le nombre d’échecs que nous avons eu jusqu’à un certain point ne nous informe toujours pas sur la probabilité d’échec dans le futur.

La propriété sans mémoire : un exemple

Supposons qu’en moyenne 30 clients par heure entrent dans un magasin et que le temps entre les arrivées soit distribué de manière exponentielle. En moyenne 2 minutes s’écoulent entre les visites successives.

Supposons que 10 minutes se soient écoulées depuis l’arrivée du dernier client. Étant donné qu’il s’agit d’une période de temps inhabituellement longue, il semblerait plus probable qu’un client arrive dans la minute qui suit.

Cependant, comme la distribution exponentielle a une propriété sans mémoire, cela ne s’avère pas être le cas. Le temps passé à attendre l’arrivée du prochain client ne dépend pas du temps écoulé depuis l’arrivée du dernier client.

Nous pouvons le prouver en utilisant le CDF de la distribution exponentielle :

CDF : 1 – e ^-λx

où λ est calculé comme 1 / temps moyen entre les arrivées. Dans notre exemple, λ = 1/2 = 0,5.

Si on pose a = 10 et b = 1, alors on a :

• Pr(X > une + b | X ≥ une ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 10 + 1 | X ≥ 10) = Pr(X > 1) = 1 – (1 – e ^-(0,5)(1) ) = 0,6065

Quel que soit le temps écoulé depuis l’arrivée du dernier client, la probabilité qu’il s’écoule plus d’une minute avant l’arrivée suivante est de 0,6065 .