Quintiles (statistiques)

Dans cet article, nous expliquons ce que sont les quintiles et comment ils sont calculés. Vous trouverez plusieurs exemples résolus de calcul de quintiles et, en plus, vous pourrez calculer les quintiles de n’importe quel échantillon statistique avec un calculateur en ligne.

Que sont les quintiles ?

En statistiques, les quintiles sont quatre valeurs qui divisent un ensemble de données en cinq parties égales. Ainsi, les premier, deuxième, troisième et quatrième quintiles représentent respectivement 20 %, 40 %, 60 % et 80 % des données de l’échantillon.

Autrement dit, la valeur du troisième quintile, par exemple, est supérieure à 60 % de toutes les données collectées, mais inférieure au reste des données.

Le symbole des quintiles est la lettre majuscule K avec l’indice du quintile, c’est-à-dire que le premier quintile est K ₁ , le deuxième quintile est K ₂ , le troisième quintile est K ₃ et le quatrième quintile est K ₄ . Bien qu’il puisse également être représenté par la lettre Q (non recommandé car cela génère une confusion avec les quartiles).

👉 Vous pouvez utiliser la calculatrice ci-dessous pour calculer les quintiles pour n’importe quel ensemble de données.

Les quintiles sont une mesure de la position non centrale avec les quartiles, les déciles et les centiles. Si vous êtes plus intéressé, vous pouvez vérifier ce que signifie chacun de ces types de quantiles sur notre site Web.

Il convient de noter que le quintile peut avoir une autre définition. En économie, les quintiles représentent le pourcentage d’une population classée par revenu, ou en d’autres termes, ils classent une population par niveaux de revenu. Par exemple, le premier quintile correspond aux 20 % des personnes les plus pauvres d’une population, le deuxième quintile correspond aux 40 % de la population ayant les revenus les plus faibles, et ainsi de suite.

Comment calculer les quintiles

Pour calculer la position des quintiles d’un échantillon ou d’une population statistique, vous devez multiplier le nombre de quintiles par la somme du nombre total de données plus un et diviser le résultat par cinq.

Par conséquent, la formule pour les quintiles est la suivante :

Attention : le résultat de cette formule nous indique la position du quintile, pas sa valeur. Le quintile sera donc la donnée située à la position obtenue par la formule.

Cependant, parfois le résultat de cette formule nous donnera un nombre décimal, il faut donc distinguer deux cas selon que le résultat est un nombre décimal ou non :

• Si le résultat de la formule est un nombre sans partie décimale , le quintile est la donnée qui se trouve dans la position fournie par la formule ci-dessus.
• Si le résultat de la formule est un nombre avec une partie décimale , la valeur du quintile est calculée à l’aide de l’expression suivante :

Où x _i et x _i+1 sont les nombres des positions entre lesquelles se trouve le nombre obtenu par la première formule, et d est la partie décimale du nombre obtenu par la première formule.

Si vous avez eu peur en voyant autant d’étapes pour déterminer les quintiles d’un ensemble de données, ne vous inquiétez pas, c’est en fait assez simple. Lisez les deux exemples suivants et vous comprendrez sûrement beaucoup mieux.

Remarque : La communauté statistique n’est toujours pas entièrement d’accord sur le calcul des quintiles, vous trouverez donc peut-être un livre qui l’explique un peu différemment.

Exemples de calcul de quintiles

Ci-dessous, nous vous laissons deux exercices résolus étape par étape sur la façon d’obtenir des quintiles à partir d’une série de données. Ainsi, pour que vous puissiez voir les deux cas possibles, dans le premier exercice les résultats ne sont pas décimaux et dans le deuxième exercice ils le sont.

Exemple 1

• Calculez les quintiles des séries de données suivantes :

Comme vous l’avez vu dans l’explication ci-dessus, la formule pour trouver la position des quintiles est :

Le paramètre n fait référence au nombre total de données, qui est 49, donc pour trouver la position du premier quintile, nous devons remplacer le n par 49 et le k par 1 :

De la formule, nous avons obtenu le nombre 10, ce qui signifie que le quintile est en dixième position de la liste ordonnée, ce qui correspond à la donnée 205.

Pour calculer le deuxième quintile, il faut utiliser la même formule mais en remplaçant k par 2 :

Le deuxième quintile est donc à la position numéro 20 de la liste ordonnée, c’est-à-dire la valeur 236.

Encore une fois, nous répétons le processus pour déterminer le quintile 3 mais, logiquement, nous remplaçons maintenant le k par 3 :

Ainsi, le troisième quintile est la donnée située en position 30, ce qui correspond à 266.

Enfin, nous appliquons à nouveau la formule pour calculer le quatrième quintile :

Le quatrième quintile est donc en position 40, donc le quatrième quintile est 286.

Exemple 2

• Calculez les quatre quintiles des données statistiques collectées dans le tableau suivant :.

De la même manière que dans l’exemple précédent, pour obtenir les positions des quintiles il faut utiliser la formule suivante :

Dans ce cas, la taille de l’échantillon est de 42 observations, donc pour trouver la position du premier quintile, nous devons remplacer le paramètre n par 42 et le k par 1 :

Cependant, contrairement au premier exemple, cette fois la formule nous donne un nombre décimal, nous devons donc appliquer la formule suivante pour calculer le quintile exact :

Le nombre obtenu à partir de la première formule est 8,6, donc le premier quintile est compris entre les huitième et neuvième données, qui sont respectivement 78 et 79. Par conséquent, x _i vaut 78, x _i+1 vaut 79 et d est la partie décimale de le nombre obtenu, soit 0,6.

Maintenant, nous refaisons exactement la même procédure pour trouver le deuxième quintile. Nous calculons d’abord sa position :

Mais à partir de la formule on obtient un nombre décimal compris entre 17 et 18 de sorte que le deuxième quintile sera entre les dix-septième et dix-huitième positions, dont les valeurs correspondent respectivement à 109 et 112 de la liste ordonnée. Par conséquent, nous appliquons la deuxième formule du processus pour déterminer la valeur exacte du quintile :

On répète la méthode pour obtenir le troisième quintile, on détermine d’abord sa position :

Le nombre calculé 25,8 signifie que la valeur du quintile sera comprise entre la vingt-cinquième et la vingt-sixième position, dont les valeurs sont 134 et 141. Le calcul de la valeur exacte du quintile est donc :

Enfin, on refait une dernière fois la même procédure pour calculer le quintile 4. On trouve d’abord sa position :

La valeur exacte du quatrième quintile sera donc comprise entre 34 et 35, dont les positions correspondent aux données 172 et 179. Le calcul du quatrième quintile est donc :

Calculateur de quintiles

Entrez un ensemble de données statistiques dans la calculatrice suivante pour calculer les quintiles. Les données doivent être séparées par un espace et saisies en utilisant le point comme séparateur décimal.

Quintiles en données groupées

Pour calculer les quintiles lorsque les données sont regroupées en intervalles, il faut d’abord trouver son intervalle ou sa classe à l’aide de la formule suivante :

Le quintile sera donc dans l’intervalle dont la fréquence absolue est immédiatement supérieure au nombre obtenu avec l’expression précédente.

Et une fois que l’on connaît l’intervalle auquel appartient le quintile, il faut appliquer la formule suivante pour trouver la valeur exacte du quintile :

Où:

• L _i est la limite inférieure de l’intervalle dans lequel se situe le quintile.
• n est le nombre total d’observations.
• F _i-1 est la fréquence absolue cumulée de l’intervalle précédent.
• f _i est la fréquence absolue de l’intervalle dans lequel se situe le quintile.
• I _i est la largeur de l’intervalle quintile.

Pour que vous puissiez voir comment cela se fait, voici un exemple résolu de calcul des quintiles de la série de données suivante regroupée en intervalles :

Puisque les données sont regroupées, nous devons appliquer la méthode suivante pour calculer les quintiles : on détermine d’abord l’intervalle dans lequel se situe le quintile, puis on trouve la valeur exacte du quintile.

Ainsi, pour trouver l’intervalle dans lequel se trouve le premier quintile, on utilise la formule suivante :

Le premier quintile sera dans l’intervalle dont la fréquence absolue cumulée est immédiatement supérieure à 30,2, dans ce cas c’est l’intervalle [150,200) dont la fréquence absolue cumulée est 42. Et une fois qu’on connaît l’intervalle quintile, on applique la deuxième formule du processus pour déterminer sa valeur exacte :

Maintenant, nous refaisons la même procédure pour obtenir le deuxième quintile, en calculant d’abord l’intervalle dans lequel il se trouve :

La fréquence absolue cumulée immédiatement supérieure à 60,4 est de 75, donc la plage du deuxième quintile est de [200 250). Par conséquent, nous substituons les valeurs correspondantes dans la deuxième formule pour calculer la valeur exacte du quintile :

Nous faisons la même procédure une troisième fois pour obtenir le quintile 3. Nous déterminons d’abord l’intervalle où se trouve le quintile :

Le quintile est dans l’intervalle [250,300) car sa fréquence absolue cumulée (102) est celle immédiatement supérieure à 90,6. Le calcul de la valeur exacte du troisième quintile est donc le suivant :

Enfin, nous allons trouver le quatrième quintile. Comme toujours, nous trouvons d’abord son intervalle :

L’intervalle dont la fréquence absolue est immédiatement supérieure à 120,8 est [300,350), dont la valeur est 130. La valeur exacte du quatrième quintile sera donc :