Règle de multiplication

Cet article explique ce qu’est la règle de multiplication, également appelée règle du produit, dans la théorie des probabilités. Ainsi, vous trouverez quelle est la formule de la règle de multiplication, des exemples sur la façon de calculer une probabilité à l’aide de la règle de multiplication et, en plus, plusieurs exercices résolus pour vous entraîner.

La règle de multiplication dépend du fait que les événements sont indépendants ou dépendants, nous verrons donc d’abord à quoi ressemble la règle pour les événements indépendants et plus tard pour les événements dépendants.

Règle de multiplication pour les événements indépendants

N’oubliez pas que les événements indépendants sont les résultats d’une expérience statistique dont la probabilité d’occurrence ne dépend pas les unes des autres. Autrement dit, deux événements A et B sont indépendants si la probabilité que l’événement A se produise ne dépend pas de la survenue de l’événement B et vice versa.

Formule de règle de multiplication pour les événements indépendants

Par conséquent, la formule de la règle de multiplication pour les événements indépendants est la suivante :

Où:

• et Ce sont deux événements indépendants.
• est la probabilité conjointe que l’événement A et l’événement B se produisent.
• est la probabilité que l’événement A se produise.
• est la probabilité que l’événement B se produise.

Exemple de règle de multiplication pour les événements indépendants

• Une pièce est lancée trois fois de suite. Calculez la probabilité d’obtenir face sur les trois lancers.

Dans ce cas, les événements pour lesquels on veut calculer la probabilité conjointe sont indépendants, puisque le résultat d’un tirage au sort ne dépend pas du résultat obtenu lors du tirage au sort précédent. Par conséquent, pour déterminer la probabilité conjointe d’obtenir trois faces consécutives, nous devons utiliser la formule de la règle de multiplication pour les événements indépendants :

Lorsque l’on lance une pièce de monnaie, il n’y a que deux résultats possibles, nous pouvons obtenir pile ou face. Par conséquent, la probabilité d’obtenir pile ou face en lançant une pièce est :

Ainsi, pour trouver la probabilité d’obtenir face lors des trois lancers de pièces, nous devons multiplier par trois la probabilité d’obtenir face :

En bref, la probabilité d’obtenir face trois fois de suite est de 12,5 %.

Ci-dessous vous avez tous les événements possibles représentés avec leurs probabilités dans un diagramme en arbre, de cette façon vous pourrez mieux voir le processus que nous avons suivi pour obtenir la probabilité conjointe :

Règle de multiplication pour les événements dépendants

Maintenant que nous avons vu quelle est la règle de multiplication pour les événements indépendants, voyons à quoi ressemble cette loi pour les événements dépendants puisque la formule varie un peu.

N’oubliez pas que les événements dépendants sont les résultats d’une expérience aléatoire dont la probabilité d’occurrence dépend les unes des autres. Autrement dit, deux événements sont dépendants si la probabilité qu’un événement se produise affecte la probabilité que l’autre événement se produise.

Formule de règle de multiplication pour les événements dépendants

Ainsi, la formule de la règle de multiplication pour les événements dépendants est la suivante :

Où:

• et Ce sont deux événements dépendants.
• est la probabilité que l’événement A et l’événement B se produisent.
• est la probabilité que l’événement A se produise.
• est la probabilité conditionnelle que l’événement B se produise étant donné l’événement A.

Exemple de règle de multiplication pour les événements dépendants

• Dans une boîte vide on met 8 boules bleues, 4 boules orange et 2 boules vertes. Si l’on tire d’abord une boule puis une autre boule sans remettre la première boule tirée dans la boîte, quelle est la probabilité que la première boule soit bleue et la deuxième boule orange ?

Dans ce cas, les événements sont dépendants, car la probabilité de ramasser une boule orange lors du deuxième tirage dépend de la couleur de la boule tirée lors du premier tirage. Par conséquent, pour calculer la probabilité conjointe, nous devons utiliser la formule de la règle de multiplication pour les événements dépendants :

La probabilité d’obtenir une boule bleue au premier tirage est facile à déterminer, il suffit de diviser le nombre de boules bleues par le nombre total de boules :

En revanche, la probabilité de tirer une boule orange après avoir pris une boule bleue est calculée différemment car le nombre de boules orange est différent et, en plus, il y a désormais une boule de moins à l’intérieur de la boîte :

Ainsi, la probabilité conjointe de tirer d’abord une boule bleue puis une boule orange est calculée en multipliant les deux probabilités trouvées ci-dessus :

Exercices résolus de la règle de multiplication

Exercice 1

Dans une ville il n’y a que 3 crèches : 60% des enfants vont à la crèche A, 30% à la crèche B et 10% à la crèche C. De plus, dans les trois garderies, 55 % des personnes sont des filles. Calculez les probabilités suivantes :

• Probabilité que lorsqu’un enfant est sélectionné au hasard dans la garderie B, ce soit une fille.
• Probabilité que lorsqu’un enfant est sélectionné au hasard dans n’importe quelle garderie, ce soit un garçon.

Si la proportion de filles dans toutes les garderies est de 55 %, le pourcentage de garçons se calcule en soustrayant simplement 1 moins 0,55 :

Maintenant que nous connaissons toutes les probabilités, nous pouvons réaliser l’arborescence avec les probabilités de toutes les possibilités :

Dans ce cas, les événements sont indépendants, puisque la probabilité qu’il s’agisse d’un garçon ou d’une fille ne dépend pas de la garderie choisie. Ainsi, pour trouver la probabilité de sélectionner au hasard une fille de la garderie B, vous devez multiplier la probabilité de sélectionner la garderie B par la probabilité de sélectionner une fille :

D’autre part, pour déterminer la probabilité de sélectionner un garçon dans n’importe quelle garderie, nous devons d’abord calculer la probabilité de choisir un garçon pour chaque garderie, puis les additionner :

Exercice 2

L’exercice financier de 25 entreprises d’un pays a été étudié et comment le prix de leurs actions évolue en fonction du résultat économique de l’année. Vous pouvez voir les données collectées dans le tableau de contingence suivant :

Quelle est la probabilité qu’une entreprise réalise des bénéfices et voit également le cours de ses actions augmenter ?

Dans ce cas, les événements sont dépendants car la probabilité que les actions montent ou descendent dépend du résultat économique. Par conséquent, nous devons appliquer la formule de la règle de multiplication pour les événements dépendants :

On calcule donc d’abord la probabilité qu’une entreprise réalise un bénéfice et, d’autre part, la probabilité que les actions de l’entreprise augmentent lorsqu’elle a réalisé un bénéfice économique :

Ensuite, nous substituons les valeurs calculées dans la formule et calculons la probabilité conjointe :