Score Z

Cet article explique ce qu’est le score Z dans les statistiques. Vous découvrirez également comment calculer le score Z d’un titre, des exemples de son calcul et quelles sont les caractéristiques des scores Z.

Qu’est-ce que le score Z ?

Le score Z , ou score Z , est un score statistique qui indique le nombre d’écarts types d’une valeur par rapport à la moyenne. Pour calculer un score Z pour une valeur, vous devez soustraire la moyenne de cette valeur, puis diviser par l’écart type de l’échantillon de données.

Par exemple, si une valeur est inférieure de deux écarts types à la moyenne arithmétique de l’ensemble de données, le score Z pour cette valeur est égal à -2.

Ce terme statistique est également appelé score standard , statistique Z ou valeur Z.

Le score Z d’une valeur est très utile dans les tests d’hypothèse pour calculer les limites des intervalles de confiance et donc de la région de rejet de l’hypothèse nulle.

Formule du score Z

Le score Z est égal à la différence entre la valeur et la moyenne de l’ensemble de données divisée par l’écart type. Par conséquent, pour trouver le score Z, vous devez d’abord soustraire la moyenne de la valeur, puis diviser le résultat par l’écart type.

En bref, la formule du score Z est la suivante :

Où

est le score Z, est la valeur à partir de laquelle le score Z est calculé, est la moyenne arithmétique et est l’écart type ou l’écart typique.

L’interprétation de la valeur du Z-score est simple : la valeur du Z-score indique le nombre d’écarts types entre une valeur et la moyenne. Par conséquent, plus la valeur absolue du score Z est grande, plus la valeur s’éloignera de la moyenne.

Exemples de scores Z

Une fois que nous avons vu la définition du score Z, afin que vous puissiez mieux comprendre sa signification, dans cette section nous procédons à la résolution d’un exemple dans lequel plusieurs scores Z sont calculés.

• Calculez les scores Z pour toutes les données suivantes : 7, 2, 4, 9, 3

Tout d’abord, nous devons trouver la moyenne arithmétique des données de l’échantillon :

Deuxièmement, nous calculons l’écart type de la série de données :

Et enfin, nous appliquons la formule du score Z pour chaque donnée et calculons tous les scores Z :

Le score Z et la règle empirique

Dans le cas où la distribution de l’échantillon est une distribution normale , grâce à la règle empirique, on peut rapidement savoir à quel pourcentage de valeurs correspond une valeur en calculant son score Z.

Ainsi, la règle empirique établit que dans toute distribution normale, ce qui suit est vrai :

• 68 % des valeurs se situent à un écart type de la moyenne.
• 95 % des valeurs se situent à deux écarts types de la moyenne.
• 99,7% des valeurs se situent à moins de trois écarts types de la moyenne.

Par conséquent, s’il s’agit d’une distribution normale, nous pouvons déduire ce qui suit de la règle empirique :

• Si le score Z est inférieur à 1, la valeur se situe dans les 68 % supérieurs des valeurs.
• Si le score Z est supérieur à 1 mais inférieur à 2, la valeur est parmi les 95 % des valeurs.
• Si le score Z est supérieur à 2 mais inférieur à 3, la valeur se situe parmi les 99,7% des valeurs.

Vous pouvez voir plus de valeurs de la règle empirique dans le tableau suivant :

Propriétés du score Z

Les scores Z ont les propriétés suivantes :

• La moyenne arithmétique de tous les scores Z est toujours égale à 0.
• L’écart type des scores Z est égal à 1.
• Les scores Z sont sans dimension, puisque les unités du numérateur s’annulent avec les unités du dénominateur.
• Si un score Z est positif, cela signifie que la valeur est supérieure à la moyenne de l’échantillon. En revanche, si le score Z est négatif, cela signifie que la valeur est inférieure à la moyenne de l’échantillon.
• Les scores Z sont très utiles pour comparer différentes distributions.