Statistique de contraste

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est une statistique de contraste, quelles sont les formules les plus courantes pour les statistiques de contraste et, en outre, la relation entre la statistique de contraste, la région de rejet et la région d’acceptation.

Quelle est la statistique de contraste ?

La statistique de contraste est une variable avec une distribution de probabilité connue liée à l’hypothèse de l’étude. Plus précisément, la statistique de contraste est utilisée dans les tests d’hypothèse pour rejeter ou accepter l’hypothèse nulle.

En fait, la décision de rejeter ou non l’hypothèse nulle d’un test d’hypothèse repose sur la valeur de la statistique du test. Si la valeur de la statistique de test tombe dans la région de rejet, l’hypothèse nulle est rejetée. Tandis que si la valeur de la statistique de test tombe dans la région d’acceptation, l’hypothèse nulle est acceptée.

➤ Voir : Tests d’hypothèses (statistiques)

Formules de statistiques de contraste

Selon le type de test d’hypothèse, la distribution de la statistique du test est différente. La formule de la statistique du test dépend donc également du type de test d’hypothèse. Nous verrons donc ensuite comment la statistique du test est calculée en fonction du type de test d’hypothèse.

Statistique de contraste pour la moyenne

La formule de la statistique de test d’hypothèse pour la moyenne avec une variance connue est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test d’hypothèse pour la moyenne.
$\overline{x}$ est la moyenne de l’échantillon.
$\mu$ est la valeur moyenne proposée.
$\sigma$ est l’écart type de la population.
$n$ est la taille de l’échantillon.

Une fois la statistique de contraste d’hypothèse pour la moyenne calculée, le résultat doit être interprété pour rejeter ou rejeter l’hypothèse nulle :

Si le test d’hypothèse pour la moyenne est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α/2 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Dans ce cas, les valeurs critiques sont obtenues à partir du tableau de la distribution normale standardisée.

D’autre part, la formule de la statistique de test d’hypothèse pour la moyenne avec une variance inconnue est la suivante :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Où:

$t$ est la statistique du test d’hypothèse pour la moyenne, qui est définie par la distribution t de Student.
$\overline{x}$ est la moyenne de l’échantillon.
$\mu$ est la valeur moyenne proposée.
$s$ est l’écart type de l’échantillon.
$n$ est la taille de l’échantillon.

Comme précédemment, le résultat calculé de la statistique de contraste doit être interprété avec la valeur critique pour rejeter ou non l’hypothèse nulle :

Si le test d’hypothèse pour la moyenne est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique t _α/2|n-1 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique t _α|n-1 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Lorsque la variance est inconnue, les valeurs critiques du test sont obtenues à partir de la table de distribution t de Student.

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la moyenne

Statistique de contraste pour la proportion

La formule de la statistique de test d’hypothèse pour la proportion est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test d’hypothèse pour la proportion.
$\widehat{p}$ est la proportion de l’échantillon.
$p$ est la valeur de proportion proposée.
$n$ est la taille de l’échantillon.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ est l’écart type de la proportion.

Gardez à l’esprit qu’il ne suffit pas de calculer la statistique du test d’hypothèse pour la proportion, mais le résultat doit ensuite être interprété :

Si le test d’hypothèse pour la proportion est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α/2 .
Si le test d’hypothèse pour la proportion correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α .
Si le test d’hypothèse pour la proportion correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

N’oubliez pas que les valeurs critiques peuvent être facilement obtenues à partir du tableau de la distribution normale standard.

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la proportion

Statistique de contraste pour la variance

La formule pour calculer la statistique du test d’hypothèse pour la variance est la suivante :

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Où:

$\chi^2$ est la statistique de test d’hypothèse pour la variance, qui a une distribution du chi carré.
$n$ est la taille de l’échantillon.
$s^2$ est la variance de l’échantillon.
$\sigma^2$ est la variance de la population proposée.

Pour interpréter le résultat de la statistique, la valeur obtenue doit être comparée à la valeur critique du test.

Si le test d’hypothèse pour la variance est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique. $\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$ ou si la valeur critique est inférieure à $\chi_{\alpha/2|n-1}$ .
Si le test d’hypothèse pour la variance correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique $\chi_{1-\alpha|n-1}^2$ .
Si le test d’hypothèse pour la variance correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique $\chi_{\alpha|n-1}$ .

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Les valeurs critiques du test d’hypothèse pour la variance sont obtenues à partir du tableau de distribution du chi carré. Notez que les degrés de liberté de la distribution du Chi carré correspondent à la taille de l’échantillon moins 1.

➤ Voir : Test d’hypothèse de variance

Statistique de contraste, région de rejet et région d’acceptation

Dans un test d’hypothèse, la région de rejet est la région du graphique de la distribution de la statistique de test qui implique le rejet de l’hypothèse nulle (et l’acceptation de l’hypothèse alternative). D’autre part, la région d’acceptation est la région du graphique de distribution de la statistique de test qui implique l’acceptation de l’hypothèse nulle (et le rejet de l’hypothèse alternative).

Ainsi, la valeur de la statistique de contraste détermine le résultat d’un test d’hypothèse de la manière suivante :

Si la statistique du test se situe dans la région de rejet, l’hypothèse nulle est rejetée et l’hypothèse alternative est acceptée.
Si la statistique du test se situe dans la région d’acceptation, l’hypothèse nulle est acceptée et l’hypothèse alternative est rejetée.

Les valeurs qui séparent la région de rejet de la région d’acceptation sont appelées valeurs critiques . Par conséquent, nous devons calculer les valeurs critiques pour connaître les limites de la région de rejet et de la région d’acceptation et par conséquent savoir quand rejeter et quand accepter l’hypothèse nulle.

➤ Voir : Valeur critique

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus