Tableau ANOVA

Par Pr Amélia Rodriguez août 2, 2023 Statistiques 0 commentaire

Dans cet article, vous trouverez l’explication du tableau ANOVA. Nous vous expliquons donc ce qu’est le tableau ANOVA, comment faire un tableau ANOVA, quelles sont les formules du tableau ANOVA et, en plus, vous pourrez voir un exercice résolu étape par étape.

Qu’est-ce que le tableau ANOVA ?

Le tableau ANOVA est un tableau utilisé en statistique dans l’analyse de variance. Plus précisément, le tableau ANOVA contient toutes les informations nécessaires à une analyse de variance.

Par conséquent, le tableau ANOVA sert à résumer une analyse de variance. En traçant les calculs d’une analyse de variance dans un tableau, vous pouvez facilement tirer des conclusions et vous permettre également de calculer rapidement la valeur de la statistique du test ANOVA.

Formules du tableau ANOVA

Dans le tableau ANOVA unidirectionnel, il y a trois lignes : le facteur, l’erreur et le total. Ainsi, dans le tableau ANOVA, les sommes des carrés de chaque ligne et leurs degrés de liberté sont calculées. De plus, l’erreur quadratique moyenne du facteur et de l’erreur est calculée et, enfin, la statistique du test ANOVA est déterminée, qui est égale au rapport des erreurs quadratiques.

Les formules du tableau ANOVA sont donc les suivantes :

Où:

$n_i$ est la taille de l’échantillon i.
$N$ est le nombre total d’observations.
$k$ est le nombre de groupes différents dans l’analyse de variance.
$y_{ij}$ est la valeur j du groupe i.
$\overline{y}_{i}$ est la moyenne du groupe i.
$\overline{y}$ C’est la moyenne de toutes les données analysées.

Exemple de tableau ANOVA

Pour bien comprendre le concept, voyons comment créer un tableau ANOVA en résolvant un exemple étape par étape.

Une étude statistique est réalisée pour comparer les scores obtenus par quatre étudiants dans trois matières différentes (A, B et C). Le tableau suivant détaille les scores obtenus par chaque élève à un test dont le score maximum est de 20. Construisez le tableau ANOVA pour comparer les notes obtenues par chaque élève dans chaque matière.

La première chose que nous devons faire est de calculer la moyenne de chaque sujet et la moyenne totale des données :

$\overline{y}_A=\cfrac{14+12+14+10}{4}=12,5$

$\overline{y}_B=\cfrac{13+14+10+14}{4}=12,75$

$\overline{y}_C=\cfrac{19+17+16+19}{4}=17,75$

$\overline{y}=\cfrac{14+12+14+10+13+14+10+14+19+17+16+19}{12}=14,33$

Une fois que nous connaissons la valeur des moyennes, nous calculons les sommes des carrés en utilisant les formules du tableau ANOVA (voir ci-dessus) :

$\begin{aligned}\displaystyle SS_F&=\sum_{i=1}^k n_i(\overline{y}_i-\overline{y})^2\\[2ex] SS_F&= 4\cdot (12,5-14,33)^2+4\cdot (12,75-14,33)^2+4\cdot (17,75-14,33)^2\\[2ex] SS_F&=70,17\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle SS_E=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij}-\overline{y}_i)^2\\[2ex] \displaystyle SS_E=\ &(14-12,5)^2+(12-12,5)^2+(14-12,5)^2+(10-12,5)^2+\\&+(13-12,75)^2+(14-12,75)^2+(10-12,75)^2+(14-12,75)^2+\\&+(19-17,75)^2+(17-17,75)^2+(16-17,75)^2+(19-17,75)^2\\[2ex] SS_E=\ &28,50\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle SS_T=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij}-\overline{y})^2\\[2ex] \displaystyle SS_T= \ &(14-14,33)^2+(12-14,33)^2+(14-14,33)^2+(10-14,33)^2+\\&+(13-14,33)^2+(14-14,33)^2+(10-14,33)^2+(14-14,33)^2+\\&+(19-14,33)^2+(17-14,33)^2+(16-14,33)^2+(19-14,33)^2\\[2ex] SS_T= \ &98,67\end{aligned}$

Ensuite on détermine les degrés de liberté du facteur, l’erreur et le total :

$GL_F=k-1=3-1=2$

$GL_E=N-k=12-3=9$

$GL_F=N-1=12-1=11$

Nous calculons maintenant les erreurs quadratiques moyennes en divisant les sommes des carrés du facteur et de l’erreur par leurs degrés de liberté respectifs :

$MSE_F=\cfrac{SS_F}{GL_F}=\cfrac{70,17}{2}=35,08$

$MSE_R=\cfrac{SS_R}{GL_R}=\cfrac{28,50}{9}=3,17$

Et enfin, on calcule la valeur de la statistique F en divisant les deux erreurs calculées à l’étape précédente :

$F=\cfrac{MSE_F}{MSE_R}=\cfrac{35,09}{3,17}=11,08$

En bref, le tableau ANOVA pour les données d’exemple ressemblerait à ceci :

Une fois toutes les valeurs du tableau ANOVA calculées, il ne reste plus qu’à l’interpréter. Pour ce faire, il faut comparer la probabilité correspondant à la valeur de la statistique F, appelée p-value. Vous pouvez voir comment cela se fait en cliquant sur le lien suivant :

➤ Voir : Interprétation de la valeur p

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus