Comment effectuer des tests de normalité multivariés dans R

Lorsque nous souhaitons tester si une seule variable est normalement distribuée ou non, nous pouvons créer un tracé QQ pour visualiser la distribution ou effectuer un test statistique formel comme un test d’Anderson Darling ou un test de Jarque-Bera .

Cependant, lorsque nous souhaitons tester si plusieurs variables sont normalement distribuées en tant que groupe, nous devons effectuer un test de normalité multivarié .

Ce didacticiel explique comment effectuer les tests de normalité multivariés suivants pour un ensemble de données donné dans R :

• Le test de Mardia
• Test d’énergie
• Tests d’aplatissement et d’asymétrie multivariés

Connexe : Si nous souhaitons identifier les valeurs aberrantes dans un contexte multivarié, nous pouvons utiliser la distance de Mahalanobis .

Exemple : le test de Mardia dans R

Le test de Mardia détermine si un groupe de variables suit ou non une distribution normale multivariée. Les hypothèses nulles et alternatives du test sont les suivantes :

H ₀ (nul) : Les variables suivent une distribution normale multivariée.

H _a (alternative) : Les variables ne suivent pas une distribution normale multivariée.

Le code suivant montre comment effectuer ce test dans R à l’aide du package QuantPsyc :

library(QuantPsyc)

#create dataset
set.seed(0)

data <- data.frame(x1 = rnorm(50),
                   x2 = rnorm(50),
                   x3 = rnorm(50))

#perform Multivariate normality test
mult.norm(data)$mult.test

          Beta-hat      kappa     p-val
Skewness  1.630474 13.5872843 0.1926626
Kurtosis 13.895364 -0.7130395 0.4758213

La fonction mult.norm() teste la normalité multivariée à la fois dans l’asymétrie et l’aplatissement de l’ensemble de données. Puisque les deux valeurs p ne sont pas inférieures à 0,05, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle du test. Nous n’avons aucune preuve indiquant que les trois variables de notre ensemble de données ne suivent pas une distribution multivariée.

Exemple : test d’énergie dans R

Un test énergétique est un autre test statistique qui détermine si un groupe de variables suit ou non une distribution normale multivariée. Les hypothèses nulles et alternatives du test sont les suivantes :

H ₀ (nul) : Les variables suivent une distribution normale multivariée.

H _a (alternative) : Les variables ne suivent pas une distribution normale multivariée.

Le code suivant montre comment effectuer ce test dans R à l’aide du package d’énergie :

library(energy)

#create dataset
set.seed(0)

data <- data.frame(x1 = rnorm(50),
                   x2 = rnorm(50),
                   x3 = rnorm(50))

#perform Multivariate normality test
mvnorm.etest(data, R=100)

	Energy test of multivariate normality: estimated parameters

data:  x, sample size 50, dimension 3, replicates 100
E-statistic = 0.90923, p-value = 0.31

La valeur p du test est de 0,31 . Comme ce chiffre n’est pas inférieur à 0,05, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle du test. Nous n’avons aucune preuve indiquant que les trois variables de notre ensemble de données ne suivent pas une distribution multivariée.

Remarque : L’argument R=100 spécifie 100 répliques boostrappées à utiliser lors de l’exécution du test. Pour les ensembles de données comportant des échantillons de plus petite taille, vous pouvez augmenter ce nombre pour produire une estimation plus fiable de la statistique de test.

Ressources additionnelles

Comment créer et interpréter un tracé QQ dans R
Comment effectuer un test d’Anderson-Darling dans R
Comment effectuer un test Jarque-Bera dans R
Comment effectuer un test Shapiro-Wilk dans R