Test d’hypothèse pour la différence de proportions

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est le test d’hypothèse pour la différence de proportions. Vous découvrirez également comment effectuer un test d’hypothèse sur la différence de proportions ainsi qu’un exercice étape par étape.

Quel est le test d’hypothèse pour la différence de proportions ?

Le test d’hypothèse sur la différence de proportions est une méthode utilisée pour rejeter ou accepter l’hypothèse selon laquelle les proportions de deux populations sont différentes. Autrement dit, le test d’hypothèse sur la différence de proportions est utilisé pour déterminer si deux proportions de population sont égales ou non.

Gardez à l’esprit que les décisions prises dans les tests d’hypothèse sont basées sur un niveau de confiance préalablement établi, il ne peut donc pas être garanti que le résultat d’un test d’hypothèse est toujours correct, mais plutôt que c’est le résultat le plus probable qui est vrai.

➤ Voir : Quel est le niveau de confiance ? (statistiques)

Le test d’hypothèse pour la différence de deux proportions consiste à calculer la statistique du test et à la comparer à la valeur critique pour rejeter ou non l’hypothèse nulle. Ci-dessous, nous expliquerons en détail comment effectuer un test d’hypothèse sur la différence de proportions.

Enfin, rappelez-vous qu’en statistique, les tests d’hypothèses peuvent également être appelés contrastes d’hypothèses, tests d’hypothèses ou tests de signification.

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la différence de moyennes

Formule de test d’hypothèse pour la différence de proportions

La formule pour calculer la statistique du test d’hypothèse pour la différence de proportions de deux populations est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Où:

$Z$ est la statistique de test d’hypothèse pour la différence de proportions.
$p_1$ est la proportion de population 1.
$p_2$ est la proportion de la population 2.
$\widehat{p_1}$ est la proportion de l’échantillon 1.
$\widehat{p_2}$ est la proportion d’échantillon 2.
$n_1$ est la taille de l’échantillon 1.
$n_2$ est la taille de l’échantillon 2.
$p_0$ est la proportion combinée des deux échantillons.

Le ratio combiné des deux échantillons est calculé comme suit :

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Où

$x_i$ est le nombre de résultats dans l’échantillon iy $n_i$ est la taille de l’échantillon i.

➤ Voir : Intervalle de confiance pour la différence de proportions

Exemple concret du test d’hypothèse pour la différence de proportions

Pour finir de voir en quoi consiste le test d’hypothèse pour la différence de proportions, un exemple résolu étape par étape de ce type de test d’hypothèse est présenté ci-dessous.

Nous voulons analyser s’il existe une différence significative dans l’effet de deux médicaments utilisés pour la même maladie. Pour ce faire, l’un des médicaments est appliqué à un échantillon de 60 patients et 48 personnes sont guéries. D’autre part, l’autre médicament est appliqué à un échantillon de 65 patients et 55 sont guéris. Effectuez un test d’hypothèse avec un niveau de signification de 5% pour déterminer si le pourcentage de personnes guéries par chaque médicament est différent.

Le test d’hypothèse pour ce problème est composé de l’hypothèse nulle et de l’hypothèse alternative suivantes :

$\begin{cases}H_0: p_1-p_2=0\\[2ex] H_1:p_1-p_2\neq 0 \end{cases}$

Tout d’abord, nous calculons la proportion de chaque échantillon en divisant le nombre de cas de réussite par la taille de l’échantillon :

$\widehat{p_1}=\cfrac{48}{60}=0,80$

$\widehat{p_1}=\cfrac{55}{65}=0,85$

On trouve ensuite la proportion combinée des deux échantillons :

$p_0=\cfrac{48+55}{60+65}=0,82$

Ensuite, nous appliquons la formule de test d’hypothèse pour la différence de proportions afin de calculer la statistique du test :

$\begin{aligned}\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (0,80-0,85)-0}{\displaystyle \sqrt{0,82\cdot(1-0,82)\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{65}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=-0,73 \end{aligned}$

En revanche, nous recherchons la valeur critique du test d’hypothèse dans le tableau Z . Puisque le niveau de signification est de 0,05 et qu’il s’agit d’un test d’hypothèse bilatéral, la valeur critique du test est de 1,96.

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

De sorte que la valeur absolue de la statistique du test est inférieure à la valeur critique, par conséquent, l’hypothèse alternative est rejetée et l’hypothèse nulle du test est acceptée.

$|-0,73|=0,73<1,96 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

➤ Voir : Répartition d’échantillonnage de la différence de proportions

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus