Essai Z

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est le test Z en statistiques et à quoi il sert. Vous découvrirez donc comment faire un test Z, les différentes formules du test Z et enfin, la différence entre le test Z et les autres tests statistiques.

Qu’est-ce qu’un test Z ?

En statistique, le test Z est un test d’hypothèse utilisé lorsque la statistique du test suit une distribution normale. La statistique obtenue à partir d’un test Z est appelée statistique Z ou valeur Z.

La formule du test Z est toujours la même, plus précisément, la statistique du test Z est égale à la différence entre la valeur d’échantillon calculée et la valeur de population proposée divisée par l’écart type du paramètre de population.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Le test Z est utilisé pour rejeter ou accepter l’hypothèse nulle des tests d’hypothèse dans lesquels la statistique du test suit une distribution normale.

Par exemple, le test Z est utilisé pour tester l’hypothèse de la moyenne lorsque la variance de la population est connue afin de rejeter ou d’accepter une hypothèse sur la valeur de la moyenne de la population.

➤ Voir : Qu’est-ce qu’un test d’hypothèse ?

Types de tests Z

Différents types de tests Z peuvent être distingués selon le paramètre sur lequel le test d’hypothèse est effectué :

Test Z pour la moyenne.
Test Z pour la proportion.
Test Z pour la différence de moyennes.
Test Z pour la différence de proportions.

Ci-dessous vous pouvez voir la formule pour chaque type de test Z.

Test Z pour la moyenne

La formule du test Z pour la moyenne est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test Z pour la moyenne.
$\overline{x}$ est la moyenne de l’échantillon.
$\mu$ est la valeur moyenne proposée.
$\sigma$ est l’écart type de la population.
$n$ est la taille de l’échantillon.

Une fois la statistique du test d’hypothèse pour la moyenne calculée, le résultat doit être interprété pour rejeter ou rejeter l’hypothèse nulle :

Si le test d’hypothèse pour la moyenne est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α/2 .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α .
Si le test d’hypothèse pour la moyenne correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Les valeurs critiques du test Z sont obtenues à partir du tableau de la distribution normale standard.

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la moyenne

Test Z pour la proportion

La formule du test Z pour la proportion est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test Z pour la proportion.
$\widehat{p}$ est la proportion de l’échantillon.
$p$ est la valeur de la proportion proposée.
$n$ est la taille de l’échantillon.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ est l’écart type de la proportion.

Gardez à l’esprit qu’il ne suffit pas de calculer la statistique du test Z pour la proportion, mais qu’il faut ensuite interpréter le résultat obtenu :

Si le test d’hypothèse pour la proportion est bilatéral, l’hypothèse nulle est rejetée si la valeur absolue de la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α/2 .
Si le test d’hypothèse pour la proportion correspond à la queue droite, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est supérieure à la valeur critique Z _α .
Si le test d’hypothèse pour la proportion correspond à la queue gauche, l’hypothèse nulle est rejetée si la statistique est inférieure à la valeur critique -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la proportion

Test Z pour la différence des moyennes

La formule pour calculer la statistique du test Z pour la différence de moyennes est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test Z pour la différence de deux moyennes avec une variance connue, qui suit une distribution normale standard.
$\mu_1$ est la moyenne de la population 1.
$\mu_2$ est la moyenne de la population 2.
$\overline{x_1}$ est la moyenne de l’échantillon 1.
$\overline{x_2}$ est la moyenne de l’échantillon 2.
$\sigma_1$ est l’écart type de la population 1.
$\sigma_2$ est l’écart type de la population 2.
$n_1$ est la taille de l’échantillon 1.
$n_2$ est la taille de l’échantillon 2.

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la différence de moyennes

Test Z pour la différence de proportions

La formule pour calculer la statistique du test Z pour la différence de proportions de deux populations est la suivante :

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Où:

$Z$ est la statistique du test Z pour la différence de proportions.
$p_1$ est la proportion de population 1.
$p_2$ est la proportion de la population 2.
$\widehat{p_1}$ est la proportion de l’échantillon 1.
$\widehat{p_2}$ est la proportion d’échantillon 2.
$n_1$ est la taille de l’échantillon 1.
$n_2$ est la taille de l’échantillon 2.
$p_0$ est la proportion combinée des deux échantillons.

La proportion combinée des deux échantillons est calculée comme suit :

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Où

$x_i$ est le nombre de résultats dans l’échantillon iy $n_i$ est la taille de l’échantillon i.

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la différence de proportions

Comment faire un test Z

Maintenant que nous avons vu quelles sont les différentes formules de test Z, voyons comment réaliser un test Z.

Les étapes à suivre pour effectuer un test Z sont les suivantes.

Définissez l’ hypothèse nulle et l’hypothèse alternative du test d’hypothèse.
Décidez du niveau de signification alpha (α) du test d’hypothèse.
Vérifiez que les conditions requises pour pouvoir utiliser le test Z sont remplies.
Appliquez la formule de test Z correspondante et calculez la statistique de test.
Interprétez le résultat du test Z en le comparant à la valeur critique du test.

Test Z et test t

Enfin, nous verrons quelle est la différence entre le test Z et le test t, puisqu’ils sont sûrement les deux types de tests d’hypothèses les plus utilisés en statistique.

Le test t , également appelé test t de Student , est un test d’hypothèse utilisé lorsque la population étudiée suit une distribution normale, mais que la taille de l’échantillon est trop petite pour connaître la variance de la population.

Par conséquent, la principale différence entre l’utilisation du test Z et du test t réside dans le fait que la variance soit connue ou non. Lorsque la variance de la population est connue, le test Z est utilisé, tandis que lorsque la variance de la population est inconnue, le test t est utilisé.

➤ Voir : test t (statistiques)

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus