วิธีค้นหาความน่าจะเป็นด้วยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เราสามารถใช้กระบวนการต่อไปนี้เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่ ตัวแปรสุ่ม แบบกระจาย แบบปกติ

ขั้นตอนที่ 1: ค้นหาคะแนน z

คะแนน z จะบอกคุณว่าค่าข้อมูลแต่ละรายการตกจากค่าเฉลี่ยเป็นจำนวนเท่าใด มีการคำนวณดังนี้:

คะแนน z = (x – μ) / σ

ทอง:

• x: ค่าข้อมูลแต่ละรายการ
• μ: ค่าเฉลี่ยประชากร
• σ: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร

ขั้นตอนที่ 2: ค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับคะแนน z

เมื่อเราคำนวณคะแนน z แล้ว เราจะค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันได้ในตาราง z

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีการใช้กระบวนการนี้ในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างที่ 1: ความน่าจะเป็นน้อยกว่าค่าที่กำหนด

โดยปกติแล้วคะแนนในการทดสอบบางรายการจะแจกแจงด้วยค่าเฉลี่ย μ = 82 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 8 ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคะแนนน้อยกว่า 84 ในการทดสอบคือเท่าใด

ขั้นตอนที่ 1: ค้นหาคะแนน z

ขั้นแรก เราจะค้นหาคะแนน z ที่เกี่ยวข้องกับคะแนน 84:

คะแนน z = (x – μ) / σ = (84 – 82) / 8 = 2/8 = 0.25

ขั้นตอนที่ 2: ใช้ตาราง z เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ต่อไปเราจะค้นหาค่า 0.25 ในตาราง z:

ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะได้รับคะแนนน้อยกว่า 84 คือประมาณ 59.87%

ตัวอย่างที่ 2: ความน่าจะเป็นที่มากกว่าค่าที่กำหนด

ความสูงของนกเพนกวินบางสายพันธุ์โดยปกติจะแจกแจงโดยมีค่าเฉลี่ย μ = 30 นิ้ว และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 4 นิ้ว หากเราสุ่มเลือกนกเพนกวิน ความน่าจะเป็นที่มันจะสูงเกิน 28 นิ้วเป็นเท่าไหร่?

ขั้นตอนที่ 1: ค้นหาคะแนน z

ขั้นแรก เราจะหาคะแนน z ที่เกี่ยวข้องกับส่วนสูง 28 นิ้ว

คะแนน z = (x – μ) / σ = (28 – 30) / 4 = -2 / 4 = -0.5

ขั้นตอนที่ 2: ใช้ตาราง z เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ต่อไปเราจะค้นหาค่า -0.5   ในตาราง z:

ค่าที่สอดคล้องกับคะแนน z -0.5 คือ 0.3085 นี่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่นกเพนกวินจะเตี้ยกว่า 28 นิ้ว

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเราต้องการทราบความน่าจะเป็นที่นกเพนกวินจะสูงกว่า 28 นิ้ว เราจึงต้องลบความน่าจะเป็นนั้นออกจาก 1

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นกเพนกวินจะสูงกว่า 28 นิ้วคือ: 1 – 0.3085 = 0.6915

ตัวอย่างที่ 3: ความน่าจะเป็นระหว่างสองค่า

โดยปกติน้ำหนักของเต่าบางสายพันธุ์จะกระจายโดยมีค่าเฉลี่ย μ = 400 ปอนด์ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ σ = 25 ปอนด์ หากเราเลือกเต่าโดยการสุ่ม ความน่าจะเป็นที่เต่าจะมีน้ำหนักระหว่าง 410 ถึง 425 ปอนด์เป็นเท่าใด

ขั้นตอนที่ 1: ค้นหาคะแนน z

ขั้นแรก เราจะค้นหาคะแนน z ที่เกี่ยวข้องกับหนังสือ 410 เล่มและหนังสือ 425 เล่ม

คะแนน z ของ 410 = (x – μ) / σ = (410 – 400) / 25 = 10/25 = 0.4

คะแนน z ของ 425 = (x – μ) / σ = (425 – 400) / 25 = 25 / 25 = 1

ขั้นตอนที่ 2: ใช้ตาราง z เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

ก่อนอื่น เราจะหาค่า 0.4   ในตาราง z:

ต่อไปเราจะหาค่า 1   ในตาราง z:

ต่อไป เราจะลบค่าที่น้อยกว่าออกจากค่าที่มากกว่า: 0.8413 – 0.6554 = 0.1859

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เต่าสุ่มเลือกจะมีน้ำหนักระหว่าง 410 ปอนด์ถึง 425 ปอนด์ คือ 18.59%

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

วิธีคำนวณค่า P จากคะแนน Z ด้วยตนเอง
วิธีแปลงคะแนน Z เป็นคะแนนดิบ
วิธีค้นหาคะแนน Z ในพื้นที่ที่กำหนด