กฎแห่งความน่าจะเป็นทั้งหมด: คำจำกัดความและตัวอย่าง

ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น กฎของความน่าจะเป็นทั้งหมด เป็นวิธีที่มีประโยชน์ในการค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เมื่อเราไม่ทราบโดยตรงถึงความน่าจะเป็นของ A แต่เรารู้ว่าเหตุการณ์ B ₁ , B ₂ , B ₃ … สร้างฉากกั้น ของ พื้นที่ตัวอย่าง S

กฎหมายนี้ระบุสิ่งต่อไปนี้:

กฎแห่งความน่าจะเป็นทั้งหมด

ถ้า B ₁ , B ₂ , B ₃ … สร้างพาร์ติชันของพื้นที่ตัวอย่าง S จากนั้นเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ได้ดังนี้:

P( A ) = ΣP( A | B _i )*P( B _i )

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำความเข้าใจกฎหมายนี้คือยกตัวอย่างง่ายๆ

สมมติว่ามีถุงสองใบในกล่องที่บรรจุลูกหินดังต่อไปนี้:

• ถุงที่ 1: ลูกหินสีแดง 7 ลูก และลูกหินสีเขียว 3 ลูก
• ถุงที่ 2: ลูกหินสีแดง 2 ลูก และลูกหินสีเขียว 8 ลูก

ถ้าเราสุ่มเลือกถุงใดถุงหนึ่ง แล้วสุ่มเลือกลูกแก้วจากถุงนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเป็นลูกแก้วสีเขียวเป็นเท่าใด

ในตัวอย่างนี้ ให้ P( G ) = ความน่าจะเป็นในการเลือกลูกแก้วสีเขียว มันคือความน่าจะเป็นที่เราสนใจ แต่เราไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง

แต่เราจำเป็นต้องใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ G โดยให้เหตุการณ์ B โดยที่ B _i สร้างพาร์ติชันของสเปซตัวอย่าง S ในตัวอย่างนี้ เรามีความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0.3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0.8

ดังนั้น เมื่อใช้กฎความน่าจะเป็นทั้งหมด เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการเลือกลูกแก้วสีเขียวได้ดังนี้

• P(G) = ΣP(G|B _ผม )*P(B _ผม )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• ป(ช) = (0.3)*(0.5) + (0.8)*(0.5)
• พี(ก) = 0.55

หากเราสุ่มเลือกถุงใดใบหนึ่ง แล้วสุ่มเลือกลูกแก้วจากถุงนั้น ความน่าจะเป็นที่เราเลือกลูกแก้วสีเขียวคือ 0.55

อ่านสองตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อเสริมความเข้าใจเกี่ยวกับกฎความน่าจะเป็นทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1: วิดเจ็ต

บริษัท A จัดส่งวิดเจ็ต 80% ให้กับอู่ซ่อมรถยนต์ และมีเพียง 1% ของวิดเจ็ตของบริษัทเท่านั้นที่ชำรุด บริษัท B จัดหาวิดเจ็ตที่เหลือ 20% ให้กับร้านซ่อมรถยนต์ และวิดเจ็ต 3% มีข้อบกพร่อง

หากลูกค้าสุ่มซื้อวิดเจ็ตจากร้านซ่อมรถ ความน่าจะเป็นที่จะชำรุดคือเท่าใด

หากเราปล่อยให้ P( D ) = ความน่าจะเป็นที่วิดเจ็ตชำรุด และ P(B _i ) ความน่าจะเป็นที่วิดเจ็ตมาจากบริษัทใดบริษัทหนึ่ง เราก็สามารถคำนวณความน่าจะเป็นในการซื้อวิดเจ็ตที่ชำรุดได้ดังนี้:

• P(D) = ΣP(D|B _ผม )*P(B _ผม )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0.01)*(0.80) + (0.03)*(0.20)
• พี(D) = 0.014

หากเราสุ่มซื้อวิดเจ็ตจากร้านค้าอัตโนมัตินี้ ความน่าจะเป็นที่จะมีข้อบกพร่องคือ 0.014

ตัวอย่างที่ 2: ป่าไม้

ป่า A ครอบครอง 50% ของพื้นที่ทั้งหมดของสวนสาธารณะบางแห่งและ 20% ของพืชในป่านี้มีพิษ ป่า B ครอบครองพื้นที่ 30% ของพื้นที่ทั้งหมด และ 40% ของพืชในป่า B นั้นมีพิษ ป่า C ครอบครองพื้นที่ที่เหลือ 20% และ 70% ของพืชพบว่ามีพิษ

หากเราสุ่มเดินเข้าไปในสวนแห่งนี้และเด็ดต้นไม้จากพื้นดิน จะมีความเป็นไปได้มากน้อยเพียงใดที่จะมีพิษ?

ถ้าเราปล่อยให้ P( P ) = ความน่าจะเป็นที่พืชนั้นเป็นพิษ และ P(B _i ) ความน่าจะเป็นที่เราได้เข้าไปในป่าหนึ่งในสามแห่ง แล้วเราก็สามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่พืชที่เลือกแบบสุ่มมีพิษได้ เช่น:

• P(P) = ΣP(P|B _ผม )*P(B _ผม )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0.20)*(0.50) + (0.40)*(0.30) + (0.70)*(0.20)
• พี(พี) = 0.36

หากเราสุ่มเลือกพืชจากพื้นดิน ความน่าจะเป็นที่เป็นพิษคือ 0.36 .

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

บทช่วยสอนต่อไปนี้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหัวข้อความน่าจะเป็น:

วิธีค้นหาค่าเฉลี่ยของการแจกแจงความน่าจะเป็น
วิธีค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงความน่าจะเป็น
เครื่องคำนวณการกระจายความน่าจะเป็น