การกระจายแบบสมมาตร: คำจำกัดความ + ตัวอย่าง

ในสถิติ การแจกแจงแบบสมมาตร คือการที่ด้านซ้ายและขวาสะท้อนซึ่งกันและกัน

การแจกแจงแบบสมมาตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือ การแจกแจงแบบปกติ ซึ่งมีรูปร่างระฆังชัดเจน

หากคุณลากเส้นลงตรงกลางการกระจาย ด้านซ้ายและด้านขวาของการกระจายจะสะท้อนซึ่งกันและกันอย่างสมบูรณ์แบบ:

ในสถิติ ความเบ้ เป็นวิธีหนึ่งในการอธิบายความสมมาตรของการแจกแจง ค่านี้อาจเป็นค่าลบ ศูนย์ หรือค่าบวก

สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตร ความไม่สมมาตรจะเป็นศูนย์

สิ่งนี้แตกต่างกับการแจกแจงแบบเบ้ซ้ายซึ่งมีความเบ้เป็นลบ:

สิ่งนี้ยังแตกต่างกับการแจกแจงแบบเบ้ขวา ซึ่งมีความเบ้เป็นบวก:

คุณสมบัติของการแจกแจงแบบสมมาตร

ในการแจกแจงแบบสมมาตร ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดมีค่าเท่ากัน

จำคำจำกัดความต่อไปนี้สำหรับแต่ละรายการ:

• เฉลี่ย: มูลค่าเฉลี่ย
• ค่า มัธยฐาน: ค่าเฉลี่ย
• โหมด: ค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด

ในการแจกแจงแบบสมมาตร แต่ละค่าเหล่านี้จะเท่ากัน

ในแต่ละตัวอย่างจนถึงขณะนี้ เราได้ใช้การแจกแจงแบบ Unimodal เป็นตัวอย่าง – การแจกแจงที่มี “จุดสูงสุด” เพียงอันเดียว อย่างไรก็ตาม การแจกแจงอาจเป็นแบบสองรูปแบบและแบบสมมาตรก็ได้

การกระจายตัวแบบไบโมดัล คือการแจกแจงที่มียอดสองจุด

โปรดทราบว่าหากเราลากเส้นลงตรงกลางของการแจกแจงนี้ ด้านซ้ายและด้านขวาจะยังคงสะท้อนซึ่งกันและกัน

สำหรับการแจกแจงเหล่านี้ ค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานจะเท่ากัน อย่างไรก็ตาม โหมดนี้จะอยู่ที่จุดยอดทั้งสอง

ตัวอย่างอื่น ๆ ของการแจกแจงแบบสมมาตร

นอกจากการแจกแจงแบบปกติแล้ว การแจกแจงต่อไปนี้ยังสมมาตรอีกด้วย:

การกระจายตัวของที

กระจายสม่ำเสมอ

การกระจายตัวของคอชี

หากคุณลากเส้นลงตรงกลางของการแจกแจงแบบใดแบบหนึ่ง ด้านซ้ายและด้านขวาของการแจกแจงแต่ละครั้งจะสะท้อนซึ่งกันและกันอย่างสมบูรณ์แบบ

การแจกแจงแบบสมมาตรและทฤษฎีบทขีดจำกัดจุดศูนย์กลาง

ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งในสถิติทั้งหมดคือทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ซึ่งระบุว่า การกระจายตัวตัวอย่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง จะอยู่ที่ประมาณปกติ หากขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่เพียงพอ แม้ว่าการกระจายตัวของประชากรจะไม่ปกติก็ตาม

เพื่อที่จะใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดศูนย์กลาง ขนาดของกลุ่มตัวอย่างจะต้องมีขนาดใหญ่เพียงพอ ปรากฎว่าจำนวนคนที่ “ใหญ่พอ” นั้นขึ้นอยู่กับรูปร่างพื้นฐานของการกระจายตัวของประชากร

โดยเฉพาะ:

• หากการกระจายตัวของประชากรเป็นแบบสมมาตร ขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่เล็กเพียง 15 คนก็เพียงพอแล้วในบางครั้ง
• หากการกระจายตัวของประชากรบิดเบือน โดยปกติจะต้องมีกลุ่มตัวอย่างอย่างน้อย 30 คน
• หากการกระจายตัวของประชากรบิดเบือนอย่างมาก อาจจำเป็นต้องมีกลุ่มตัวอย่างตั้งแต่ 40 คนขึ้นไป

ข้อดีของการแจกแจงแบบสมมาตรคือเราต้องการขนาดตัวอย่างที่เล็กลงเพื่อใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเมื่อคำนวณ ช่วงความเชื่อมั่น หรือทำการ ทดสอบสมมติฐาน

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีบทขีดจำกัดศูนย์กลาง
การกระจายแบบไบโมดัลคืออะไร?
คำแนะนำเกี่ยวกับการแจกแจงแบบเบ้ซ้ายและขวา