วิธีค้นหาความน่าจะเป็น "อย่างน้อยสาม" สำเร็จ

เราสามารถใช้สูตรทั่วไปต่อไปนี้เพื่อค้นหา ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จอย่างน้อยสามครั้ง ในชุดการทดลอง:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

ในสูตรข้างต้น เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นแต่ละรายการได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับ การแจกแจงแบบทวินาม :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

ทอง:

• n: จำนวนการทดลอง
• k: จำนวนความสำเร็จ
• p: ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนด
• _n C _k : จำนวนวิธีในการได้รับ k ความสำเร็จในการทดลอง n ครั้ง

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีการใช้สูตรนี้เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของความสำเร็จ “อย่างน้อยสาม” ในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างที่ 1: ความพยายามในการโยนโทษ

ไททำได้ 25% ของความพยายามในการโยนโทษ หากเขาพยายามโยนโทษ 5 ครั้ง ให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาทำได้อย่างน้อยสามครั้ง

ขั้นแรก ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาโยนโทษเป็นศูนย์ หนึ่งครั้ง หรือสองครั้งพอดี:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0.25 ⁰ * (1-0.25) ^5-0 = 1 * 1 * 0.75 ⁵ = 0.2373

P(X=1) = ₅ ค ₁ * 0.25 ¹ * (1-0.25) ^5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 ⁴ = 0.3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0.25 ² * (1-0.25) ^5-2 = 10 * 0.0625 * 0.75 ³ = 0.2636

ต่อไป ให้แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรต่อไปนี้เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่ Ty โยนโทษอย่างน้อยสามครั้ง:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0.2373 – 0.3955 – 0.2636
• ป(X≥3) = 0.1036

ความน่าจะเป็นที่ไทโยนโทษอย่างน้อยสามครั้งในการพยายามห้าครั้งคือ 0.1036

ตัวอย่างที่ 2: วิดเจ็ต

ในโรงงานที่กำหนด 2% ของวิดเจ็ตทั้งหมดมีข้อบกพร่อง ในการสุ่มตัวอย่างวิดเจ็ต 10 รายการ ให้ระบุความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองวิดเจ็ตจะชำรุด

ขั้นแรก มาคำนวณความน่าจะเป็นที่ศูนย์ 1 หรือ 2 เสียพอดี:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0.02 ⁰ * (1-0.02) ^10-0 = 1 * 1 * 0.98 ¹⁰ = 0.8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0.02 ¹ * (1-0.02) ^10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 ⁹ = 0.1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0.02 ² * (1-0.02) ^10-2 = 45 * 0.0004 * 0.98 ⁸ = 0.0153

ต่อไป ให้เสียบค่าเหล่านี้ลงในสูตรต่อไปนี้เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่วิดเจ็ตอย่างน้อยสามรายการจะผิดพลาด:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• พี(X≥3) = 1 – 0.8171 – 0.1667 – 0.0153
• ป(X≥3) = 0.0009

ความน่าจะเป็นที่วิดเจ็ตอย่างน้อยสามรายการมีข้อบกพร่องในการสุ่มตัวอย่าง 10 รายการนี้คือ 0.0009

ตัวอย่างที่ 3: คำถามเรื่องไม่สำคัญ

Bob ตอบคำถามเรื่องไม่สำคัญถูกต้อง 60% ถ้าเราถามคำถามเล็กๆ น้อยๆ กับเขา 5 ข้อ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาตอบถูกอย่างน้อย 3 ข้อ

ขั้นแรก ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่เขาตอบถูกทุกประการเป็นศูนย์ หนึ่งหรือสองทุกประการ:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0.60 ⁰ * (1-0.60) ^5-0 = 1 * 1 * 0.40 ⁵ = 0.01024

ป(X=1) = ₅ ค ₁ * 0.60 ¹ * (1-0.60) ^5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 ⁴ = 0.0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0.60 ² * (1-0.60) ^5-2 = 10 * 0.36 * 0.40 ³ = 0.2304

ต่อไป ให้แทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรต่อไปนี้เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่จะตอบคำถามถูกอย่างน้อยสามข้อ:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• พี(X≥3) = 1 – 0.01024 – 0.0768 – 0.2304
• ป(X≥3) = 0.6826

ความน่าจะเป็นที่เขาตอบคำถามถูกอย่างน้อยสามในห้าข้อคือ 0.6826

โบนัส: ความน่าจะเป็นของเครื่องคิดเลขอย่างน้อยสามเครื่อง

ใช้เครื่องคิดเลขนี้เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จ “อย่างน้อยสาม” โดยอัตโนมัติ โดยพิจารณาจากความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในการทดลองที่กำหนดและจำนวนการทดลองทั้งหมด