ทรัพย์สินไร้ความทรงจำคืออะไร? (คำจำกัดความ & #038; ตัวอย่าง)

ในสถิติ การแจกแจงความน่าจะเป็นมี คุณสมบัติไร้ความทรงจำ หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในอนาคตที่เกิดขึ้นไม่ได้รับผลกระทบจากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ในอดีต

มีการแจกแจงความน่าจะเป็นเพียงสองรายการเท่านั้นด้วยคุณสมบัติแบบไม่มีหน่วยความจำ:

• การแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียล ที่มีจำนวนจริงไม่เป็นลบ
• การแจกแจงทางเรขาคณิต ที่มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ

การแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งสองนี้ใช้เพื่อจำลองเวลาที่คาดหวังก่อนที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

ปรากฎว่าในช่วงเวลาใดก็ตาม การรู้ว่าเวลาผ่านไปนานเท่าใดไม่ได้บอกเราจริงๆ ว่าเหตุการณ์นั้นมีแนวโน้มจะเกิดขึ้นไม่ช้าก็เร็วมากกว่ากัน

ตัวอย่างต่อไปนี้ช่วยให้เรามีสัญชาตญาณที่ดีขึ้นเกี่ยวกับคุณสมบัติไร้ความทรงจำ

สัญชาตญาณของทรัพย์สินที่ไม่มีความทรงจำ

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

ไม่ใช่ไม่มีความทรงจำ

เป็นที่ทราบกันดีว่าแล็ปท็อปบางยี่ห้อมีอายุการใช้งานโดยเฉลี่ยประมาณ 6 ปีก่อนที่จะเสียชีวิต ดังนั้นหากเรารู้ว่าแล็ปท็อปเครื่องใดเครื่องหนึ่งมีอายุ 5 ปี ระยะเวลาที่คาดหวังจนกว่าเครื่องจะเสียนั้นค่อนข้างสั้น อย่างไรก็ตาม หากแล็ปท็อปเครื่องอื่นมีอายุเพียง 1 ปี ระยะเวลาที่คาดว่าจะเสียชีวิตนั้นค่อนข้างนาน

ในตัวอย่างนี้ การรู้ว่าเวลาผ่านไปนานเท่าใดในช่วงอายุการใช้งานของแล็ปท็อปแต่ละเครื่องจะบอกเราว่าแล็ปท็อปจะทำงานต่อไปได้นานแค่ไหนจนกว่าจะหมดอายุการใช้งาน ดังนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นนี้จะไม่มีสมบัติใดๆ หากไม่มีหน่วยความจำ

ไม่มีความทรงจำ

เดาว่าเจสสิก้าเป็นเจ้าของร้านสะดวกซื้อ เธอต้องการทราบว่าจะต้องรอนานแค่ไหนจนกว่าลูกค้ารายต่อไปจะเข้าร้าน

ในตัวอย่างนี้ การรู้ว่าลูกค้าคนสุดท้ายเข้าร้านเมื่อใดไม่มีประโยชน์มากนักในการทำนายว่าลูกค้ารายต่อไปจะเข้าร้านเมื่อใด เนื่องจากลูกค้าแต่ละรายมีความเป็นอิสระและแสดงพฤติกรรมของแต่ละบุคคล

ดังนั้นการกระจายตัวของความน่าจะเป็นนี้จะมีคุณสมบัติไร้ความทรงจำ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ในอนาคตจะเกิดขึ้นจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ในอดีต

คุณสมบัติไร้ความทรงจำ: คำจำกัดความที่เป็นทางการ

ในแง่สถิติที่เป็นทางการ ตัวแปรสุ่ม X ถูกกล่าวว่าเป็นไปตามการแจกแจงความน่าจะเป็นด้วยคุณสมบัติแบบไม่มีหน่วยความจำ ถ้าสำหรับ a และ b   ใน {0, 1, 2, …} เป็นความจริงที่ว่า:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีการแจกแจงความน่าจะเป็นด้วยคุณสมบัติที่ไม่มีหน่วยความจำ และ X คือจำนวนการทดลองจนกระทั่งประสบความสำเร็จครั้งแรก ถ้า a = 30 และ b = 10 เราจะพูดว่า:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากเรามีการทดลองที่ไม่ประสบความสำเร็จ 30 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เราจะต้องรอจนถึงการทดลอง #40 หรือหลังจากนั้นจึงจะประสบความสำเร็จจะเหมือนกับความน่าจะเป็นในการเริ่มต้นใหม่ทั้งหมดและรอจนถึงการทดลอง #10 หรือมากกว่านั้นให้ประสบความสำเร็จ

เนื่องจากการแจกแจงความน่าจะเป็นนี้มีคุณสมบัติไร้หน่วยความจำ ซึ่งหมายความว่าการทราบจำนวนความล้มเหลวที่เรามีจนถึงจุดหนึ่งยังคงไม่ได้บอกเราเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในอนาคต

คุณสมบัติไร้หน่วยความจำ: ตัวอย่าง

สมมติว่าโดยเฉลี่ยแล้ว ลูกค้าเข้าร้าน 30 รายต่อชั่วโมง และกระจายเวลาระหว่างการมาถึงแบบทวีคูณ โดยเฉลี่ยจะใช้เวลาผ่านไป 2 นาทีระหว่างการเข้าชมแต่ละครั้ง

สมมติว่าผ่านไป 10 นาทีแล้วนับตั้งแต่ลูกค้ารายสุดท้ายมาถึง เนื่องจากนี่เป็นระยะเวลาที่ยาวนานผิดปกติ จึงมีแนวโน้มมากขึ้นที่ลูกค้าจะมาถึงภายในหนึ่งนาที

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีคุณสมบัติไร้หน่วยความจำ จึงไม่เป็นเช่นนั้น เวลาที่ใช้ในการรอลูกค้ารายถัดไปมาถึงไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลานับตั้งแต่ลูกค้ารายสุดท้ายมาถึง

เราสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้โดยใช้ CDF ของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล:

CDF: 1 – อี ^{– แลมx}

โดยที่ แล คำนวณเป็น 1/เวลาเฉลี่ยระหว่างมาถึง ในตัวอย่างของเรา แล = 1/2 = 0.5

หากเราตั้งค่า a = 10 และ b = 1 เราจะได้:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• ปรา( ^X > 10 + 1 |

ไม่ว่าเวลาผ่านไปนานเท่าใดนับตั้งแต่ลูกค้ารายสุดท้ายมาถึง ความน่าจะเป็นที่จะใช้เวลามากกว่าหนึ่งนาทีก่อนการมาถึงครั้งถัดไปคือ 0.6065