Théorème de Chebyshev

Par Pr Amélia Rodriguez août 5, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique en quoi consiste le théorème de Chebyshev. Vous trouverez ici la formule du théorème de Chebyshev, un exercice résolu et, en plus, un calculateur en ligne du théorème de Chebyshev. Enfin, il montre la différence entre le théorème de Chebyshev et la règle empirique.

Qu’est-ce que le théorème de Chebyshev ?

Le théorème de Chebyshev , également connu sous le nom d’inégalité de Chebyshev , est une règle statistique utilisée pour calculer la probabilité qu’une valeur d’une variable aléatoire se trouve à une certaine distance de sa moyenne.

Autrement dit, en statistique, le théorème de Chebyshev est utilisé pour déterminer la probabilité qu’une valeur se situe dans un intervalle de confiance.

De plus, le théorème de Chebyshev est également utilisé pour prouver d’autres théorèmes statistiques, comme la loi des grands nombres.

Bien que le théorème de Chebyshev ait été formulé pour la première fois par le Français Irénée-Jules Bienaymé, le théorème porte ce nom car il a été prouvé par le Russe Pafnuty Chebushev en 1867.

Formule du théorème de Chebyshev

Le théorème de Chebyshev dit que la probabilité qu’une valeur soit égale à k écarts types par rapport à la moyenne est supérieure ou égale à un moins le rapport de un divisé par k au carré.

Par conséquent, la formule du théorème de Chebyshev est la suivante :

$\displaystyle P(\mu-k\sigma\leq X \leq \mu+k\sigma)\geq 1 -\frac{1}{k^2}$

Où

$X$ est la valeur de la variable aléatoire, $\mu$ la moyenne arithmétique de la variable, $\sigma$ son écart type et $k$ le nombre d’écarts types de distance par rapport à la moyenne sur lequel la probabilité doit être calculée.

A noter que cette formule ne peut être utilisée que si le nombre d’écarts types sur lequel le calcul est effectué est supérieur à 1, ou en d’autres termes, si k est supérieur à 1.

$k>1$

👉 Vous pouvez utiliser le calculateur du théorème de Chebyshev en ligne ci-dessous pour calculer la probabilité.

Exemple du théorème de Chebyshev

Une fois que nous avons vu la définition du théorème de Chebyshev et quelle est sa formule, voici un exemple résolu de ce théorème statistique pour mieux assimiler le concept.

Si les notes obtenues dans le cours de statistique dans une université sont définies par une distribution avec une moyenne de 65 et un écart type de 10, quel pourcentage d’étudiants ont obtenu une note comprise entre 50 et 80 ?

Pour résoudre ce problème, nous devons appliquer la formule du théorème de Chebyshev. Cependant, il faut d’abord déterminer combien d’écarts types sont les valeurs 50 et 80 par rapport à la moyenne de la variable, pour cela, il faut simplement faire le calcul suivant :

$k=\cfrac{\text{valor}-\text{media}}{\text{desviaci\'on t\'ipica}}$

$k=\cfrac{50-65}{10}=-1,5$

$k=\cfrac{80-65}{10}=1,5$

Par conséquent, les valeurs 50 et 80 correspondent respectivement à 1,5 écart-type par rapport à la moyenne inférieure et supérieure. On utilise donc la formule du théorème de Chebysheva avec k=1,5 :

$\displaystyle P(\mu-k\sigma\leq X \leq \mu+k\sigma)\leq 1 -\frac{1}{k^2}$

$\displaystyle P(\mu-1,5\sigma\leq X \leq \mu+1,5\sigma)\leq 1 -\frac{1}{1,5^2}$

$\displaystyle P(50\leq X \leq 80)\leq 0,5556$

Ainsi, au moins 55,56% des étudiants ont obtenu une note comprise entre 50 et 80.

Calculatrice du théorème de Chebyshev

Saisissez le nombre d’écarts types entre les valeurs en question et la moyenne (k) , puis cliquez sur « Calculer ». La calculatrice renverra alors la probabilité minimale de l’intervalle de confiance.

Vous devez saisir le nombre d’écarts types en utilisant le point comme séparateur décimal.

Théorème de Chebyshev et règle empirique

Deux concepts étroitement liés en statistique sont le théorème de Chebyshev et la règle empirique, puisque les deux sont utilisés pour calculer la probabilité des intervalles de confiance.

La différence entre le théorème de Chebyshev et la règle empirique est que le théorème de Chebyshev peut être utilisé sur n’importe quel type de distribution, alors que la règle empirique n’est valable que pour une distribution normale.

L’utilisation du théorème de Chebyshev est donc plus large, mais la règle empirique fournit des résultats plus précis pour une distribution normale.

Cliquez ici pour voir exactement quelle est la règle empirique :

➤ Voir : règle générale

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

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