Théorème de probabilité totale

Par Pr Amélia Rodriguez août 1, 2023 Probabilité 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est le théorème de probabilité totale et à quoi il sert en probabilités et en statistiques. Ainsi, vous trouverez la formule du théorème de probabilité totale, les exercices résolus et quand le théorème de probabilité totale est utilisé.

Quel est le théorème de probabilité totale ?

En théorie des probabilités, le théorème de probabilité totale est une loi qui permet de calculer la probabilité d’un événement qui ne fait pas partie d’un espace échantillon à partir des probabilités conditionnelles de tous les événements dans ledit espace échantillon.

Ainsi, le théorème de probabilité totale est utilisé pour calculer la probabilité d’un événement spécifique sur la base d’informations partielles sur cet événement. Parfois, nous ne pouvons pas déterminer la probabilité d’un événement en appliquant directement la règle de Laplace, car nous ne disposons pas de toutes les informations nécessaires. Mais si nous connaissons des données sur cet événement par rapport à d’autres événements, le théorème de probabilité totale est généralement utile.

En bref, le théorème de probabilité totale est utilisé lorsque l’on veut calculer la probabilité d’un événement mais que l’on ne dispose d’informations à son sujet que sous certaines conditions. Par exemple, certaines applications de ce théorème concernent des expériences avec des cas multiples, la théorie des files d’attente et l’analyse de survie.

➤ Voir : La règle de Laplace

Formule du théorème de probabilité totale

Le théorème de probabilité totale dit que étant donné un ensemble d’événements {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } qui forment une partition sur l’espace échantillon, la probabilité de l’événement B est égale à la somme des produits de la probabilité de chacun événement P(A _i ) par la probabilité conditionnelle P(B|A _i ).

Par conséquent, la formule du théorème de probabilité totale est la suivante :

Où:

$P(B)$ est la probabilité que l’événement B se produise.
$P(B|A_i)$ est la probabilité conditionnelle de l’événement B étant donné l’événement A _i .
$P(A_i)$ est la probabilité que l’événement A _i se produise.

Gardez à l’esprit qu’en probabilité, une partition de l’espace échantillon est définie comme un ensemble d’événements mutuellement incompatibles dont l’union forme l’espace échantillon.

➤ Voir : Espace échantillon

Exemple concret du théorème de probabilité totale

Après avoir vu la définition du théorème de probabilité totale et quelle est sa formule, nous allons voir un exercice résolu sur la façon dont une probabilité est calculée avec le théorème de probabilité totale pour mieux comprendre sa signification.

Un magasin d’électronique vend trois marques de téléviseurs : X, Y, Z. On estime que 20 % des ventes sont des téléviseurs de la marque, % des téléviseurs de la marque X sont défectueux, 3 % des téléviseurs de la marque Y sont défectueux et 4 % des téléviseurs de la marque Z. les téléviseurs sont défectueux. Quelle est la probabilité d’acheter un téléviseur défectueux ?

L’énoncé du problème nous donne les probabilités qu’un client achète chaque marque de téléviseur :

Événement A ₁ : Un client achète une marque de téléviseur X → P(A ₁ )=0,20
Evénement A ₂ : Un client achète un téléviseur de la marque Y → P(A ₂ )=0,50
Événement A ₃ : Un client achète une marque de téléviseur Z → P(A ₃ )=0,30

De plus, l’énoncé de l’exercice nous fournit également la probabilité qu’un téléviseur de chaque marque soit défectueux :

Événement B : Le téléviseur est défectueux

B|A ₁ : Étant donné un téléviseur de marque X, le téléviseur est défectueux → P(B|A ₁ )=0.05
B|A ₂ : Étant donné une marque de téléviseur Y, le téléviseur est défectueux → P(B|A ₂ )=0.03
B|A ₃ : Étant donné un téléviseur de marque Z, le téléviseur est défectueux → P(B|A ₃ )=0.04

Ainsi, l’ arbre de probabilité du problème est le suivant :

Ainsi, pour calculer la probabilité d’acheter un téléviseur défectueux, nous devons utiliser la formule de la règle de probabilité totale :

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

Dans notre cas, l’espace échantillon est composé de trois événements (A ₁ , A ₂ et A ₃ ), donc la formule du théorème de probabilité totale est la suivante :

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

Il suffit donc de substituer les probabilités de l’expression précédente pour trouver la probabilité d’acheter un téléviseur défectueux :

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

En conclusion, il y a une probabilité de 3,7% que nous achetions un téléviseur et qu’il soit défectueux.

Théorème de probabilité totale et théorème de Bayes

Le théorème de probabilité totale et le théorème de Bayes sont deux théorèmes importants en théorie des probabilités, notamment parce qu’ils nous permettent de calculer des probabilités à partir de valeurs de probabilité conditionnelles.

Le théorème de Bayes est une loi de la théorie des probabilités qui est utilisée pour calculer la probabilité d’un événement lorsque des informations a priori sur cet événement sont connues.

Plus précisément, le théorème de probabilité totale et le théorème de Bayes sont liés, en fait, le dénominateur de la formule du théorème de Bayes est équivalent à la formule du théorème de probabilité totale.

Cliquez sur le lien suivant pour voir en quoi consiste le théorème de Bayes et des exemples de son application :

➤ Voir : Théorème de Bayes

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

En mettant l'accent sur l'apprentissage interactif et les applications pratiques, la professeure Amélia Rodriguez propose des tutoriels complets et des exemples concrets pour rendre les concepts de probabilité accessibles et pertinents pour la vie de ses étudiants. Lire plus