Théorie des probabilités

Cet article explique ce qu’est la théorie des probabilités et à quoi elle sert. Ainsi, vous trouverez les concepts de base de la théorie des probabilités ainsi que les propriétés et les lois de la théorie des probabilités.

Qu’est-ce que la théorie des probabilités ?

La théorie des probabilités est un ensemble de règles et de propriétés utilisées pour calculer la probabilité d’un phénomène aléatoire. Ainsi, la théorie des probabilités nous permet de savoir quel résultat d’une expérience aléatoire est le plus susceptible de se produire.

Gardez à l’esprit qu’un phénomène aléatoire est un résultat qui peut être obtenu à partir d’une expérience dont le résultat ne peut être prédit, mais dépend du hasard. La théorie des probabilités est donc un ensemble de lois qui nous permettent de déterminer la probabilité qu’un phénomène aléatoire se produise.

Par exemple, lorsque nous jetons une pièce de monnaie, nous pouvons obtenir deux résultats possibles : pile ou face. Eh bien, nous pouvons utiliser la théorie des probabilités pour calculer la probabilité d’obtenir face, qui dans ce cas est de 50 %.

Tout au long de l’histoire, de nombreuses personnes ont contribué au développement de la théorie des probabilités, parmi lesquelles se distinguent Cardano, Laplace, Gauss et Kolmogorov.

Bases de la théorie des probabilités

Espace d’échantillon

En théorie des probabilités, l’ espace échantillon est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

Le symbole de l’espace échantillon est la lettre grecque majuscule Omega (Ω), bien qu’elle puisse également être représentée par la lettre majuscule E.

Par exemple, l’espace échantillon pour lancer un dé est le suivant :

Événement

En théorie des probabilités, un événement (ou un événement) est chacun des résultats possibles d’une expérience aléatoire. Par conséquent, la probabilité d’un événement est une valeur qui indique la probabilité qu’un résultat se produise.

Par exemple, lors d’un tirage au sort, il y a deux événements : « face » et « face ».

On distingue différents types d’événements :

• Événement élémentaire (ou événement simple) : chacun des résultats possibles de l’expérience.
• Événement composite : c’est un sous-ensemble de l’espace échantillon.
• Événement certain : c’est le résultat d’une expérience aléatoire qui se produira toujours.
• Événement impossible : il s’agit du résultat d’une expérience aléatoire qui ne se produira jamais.
• Événements compatibles : deux événements sont compatibles lorsqu’ils ont un événement élémentaire en commun.
• Evénements incompatibles : deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne partagent aucun événement élémentaire.
• Événements indépendants : Deux événements sont indépendants si la probabilité que l’un se produise n’affecte pas la probabilité de l’autre.
• Événements dépendants : deux événements sont dépendants si la probabilité que l’un se produise modifie la probabilité que l’autre se produise.
• Événement contraire à un autre : cet événement qui se produit lorsque l’autre événement ne se produit pas.

Axiomes de probabilité

Les axiomes de probabilité sont les suivants :

1. Axiome de probabilité 1 : la probabilité d’un événement ne peut pas être négative.



2. Axiome de probabilité 2 : la probabilité d’un certain événement est 1.



3. Axiome de probabilité 3 : la probabilité d’un ensemble d’événements incompatibles est égale à la somme de toutes les probabilités.

Propriétés de probabilité

Les propriétés de probabilité sont les suivantes :

1. La probabilité d’un événement est équivalente à un moins la probabilité de son événement opposé.



2. La probabilité d’un événement impossible est toujours nulle.



3. Si un événement est inclus dans un autre événement, la probabilité du premier événement doit être inférieure ou égale à la probabilité du deuxième événement.



4. La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection.



5. Étant donné un ensemble d’événements incompatibles deux à deux, leur probabilité conjointe est calculée en additionnant la probabilité d’occurrence de chaque événement.



6. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires dans un espace échantillon est égale à 1.

Règles de probabilité

La règle de Laplace

La règle de Laplace est une règle probabiliste utilisée pour calculer la probabilité qu’un événement se produise dans un espace échantillon.

Plus précisément, la règle de Laplace dit que la probabilité qu’un événement se produise est égale au nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas possibles. La formule de la règle de Laplace est donc la suivante :

Par exemple, si l’on met 5 boules vertes, 4 boules bleues et 2 boules jaunes dans un sac, on peut trouver la probabilité de tirer une boule verte au hasard en utilisant la règle de Laplace :

règle de somme

En théorie des probabilités, la règle de somme (ou règle d’addition) dit que la somme des probabilités de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité que les deux événements se produisent en même temps. .

Ainsi, la formule de la règle d’addition est la suivante :

Vous pouvez voir les exercices résolus étape par étape de l’application de la règle d’addition dans le lien suivant :

règle de multiplication

La règle de multiplication (ou règle du produit) dit que la probabilité conjointe que deux événements indépendants se produisent est égale au produit de la probabilité que chaque événement se produise.

La formule de la règle de multiplication est donc la suivante :

Cependant, la formule de la règle de multiplication varie selon que les événements sont indépendants ou dépendants. Vous pouvez voir quelle est la formule de la règle de multiplication pour les événements dépendants et des exemples d’application de cette règle en cliquant ici :