Comment trouver une probabilité étant donné une moyenne et un écart type

Nous pouvons utiliser le processus suivant pour trouver la probabilité qu’une variable aléatoire X normalement distribuée prenne une certaine valeur, étant donné une moyenne et un écart type :

Étape 1 : Trouvez le score z.

Un score z vous indique de combien d’écarts types une valeur de donnée individuelle tombe par rapport à la moyenne. Il est calculé comme suit :

Score z = (x – μ) / σ

où:

• x : valeur de donnée individuelle
• μ : moyenne de la population
• σ : écart type de la population

Étape 2 : Trouvez la probabilité qui correspond au score z.

Une fois que nous avons calculé le score z, nous pouvons rechercher la probabilité qui lui correspond dans le tableau z .

Les exemples suivants montrent comment utiliser ce processus dans différents scénarios.

Exemple 1 : Probabilité inférieure à une certaine valeur

Les scores à un certain test sont normalement distribués avec une moyenne μ = 82 et un écart type σ = 8. Quelle est la probabilité qu’un élève donné obtienne moins de 84 au test ?

Étape 1 : Trouvez le score z.

Dans un premier temps, nous trouverons le z-score associé à un score de 84 :

Score z = (x – μ) / σ = (84 – 82) / 8 = 2/8 = 0,25

Étape 2 : Utilisez la table z pour trouver la probabilité correspondante.

Ensuite, nous rechercherons la valeur 0,25 dans la table z :

La probabilité qu’un élève donné obtienne moins de 84 est d’environ 59,87 % .

Exemple 2 : Probabilité supérieure à une certaine valeur

La hauteur d’une certaine espèce de manchot est normalement distribuée avec une moyenne de μ = 30 pouces et un écart type de σ = 4 pouces. Si nous sélectionnons un pingouin au hasard, quelle est la probabilité qu’il mesure plus de 28 pouces de hauteur ?

Étape 1 : Trouvez le score z.

Dans un premier temps, nous retrouverons le z-score associé à une hauteur de 28 pouces.

Score z = (x – μ) / σ = (28 – 30) / 4 = -2 / 4 = -0,5

Étape 2 : Utilisez la table z pour trouver la probabilité correspondante.

Ensuite, nous rechercherons la valeur -0,5   dans la table z :

La valeur qui correspond à un score z de -0,5 est 0,3085. Cela représente la probabilité qu’un pingouin mesure moins de 28 pouces.

Cependant, puisque nous voulons connaître la probabilité qu’un pingouin ait une hauteur supérieure à 28 pouces, nous devons soustraire cette probabilité de 1.

Ainsi, la probabilité qu’un pingouin ait une hauteur supérieure à 28 pouces est : 1 – 0,3085 = 0,6915 .

Exemple 3 : Probabilité entre deux valeurs

Le poids d’une certaine espèce de tortue est normalement distribué avec une moyenne de μ = 400 livres et un écart type de σ = 25 livres. Si nous sélectionnons une tortue au hasard, quelle est la probabilité qu’elle pèse entre 410 et 425 livres ?

Étape 1 : Trouvez les scores z.

Dans un premier temps, nous retrouverons les z-scores associés à 410 livres et 425 livres

Score z de 410 = (x – μ) / σ = (410 – 400) / 25 = 10/25 = 0,4

Score z de 425 = (x – μ) / σ = (425 – 400) / 25 = 25 / 25 = 1

Étape 2 : Utilisez la table z pour trouver la probabilité correspondante.

Tout d’abord, nous rechercherons la valeur 0,4   dans la table z :

Ensuite, nous rechercherons la valeur 1   dans la table z :

Ensuite, nous soustrairons la plus petite valeur de la plus grande valeur : 0,8413 – 0,6554 = 0,1859 .

Ainsi, la probabilité qu’une tortue sélectionnée au hasard pèse entre 410 livres et 425 livres est de 18,59 % .

Ressources additionnelles

Comment calculer manuellement une valeur P à partir d’un score Z
Comment convertir les scores Z en scores bruts
Comment trouver les scores Z dans une zone donnée