Test Z à une proportion : définition, formule et exemple

Un test z à une proportion est utilisé pour comparer une proportion observée à une proportion théorique.

Ce tutoriel explique les éléments suivants :

• La motivation pour effectuer un test z à une proportion.
• La formule pour effectuer un test z à une proportion.
• Un exemple de la façon d’effectuer un test z à une proportion.

Test Z à une proportion : motivation

Supposons que nous voulions savoir si la proportion de personnes dans un certain comté qui sont en faveur d’une certaine loi est égale à 60 %. Comme il y a des milliers d’habitants dans le comté, il serait trop coûteux et trop long de faire le tour et de demander à chaque habitant sa position sur la loi.

Au lieu de cela, nous pourrions sélectionner un échantillon aléatoire simple de résidents et demander à chacun s’il soutient ou non la loi :

Cependant, il est pratiquement garanti que la proportion de résidents dans l’échantillon qui soutiennent la loi sera au moins un peu différente de la proportion de résidents dans l’ensemble de la population qui soutiennent la loi. La question est de savoir si cette différence est statistiquement significative . Heureusement, un test z à une proportion nous permet de répondre à cette question.

Test Z à une proportion : formule

Un test z à une proportion utilise toujours l’hypothèse nulle suivante :

• H ₀ : p = p ₀ (la proportion de population est égale à une proportion de population hypothétique p ₀ )

L’hypothèse alternative peut être bilatérale, à gauche ou à droite :

• H ₁ (bilatéral) : p ≠ p ₀ (la proportion de population n’est pas égale à une valeur hypothétique p ₀ )
• H ₁ (à gauche) : p < p ₀ (la proportion de population est inférieure à une valeur hypothétique p ₀ )
• H ₁ (à droite) : p > p ₀ (la proportion de population est supérieure à une valeur hypothétique p ₀ )

Nous utilisons la formule suivante pour calculer la statistique de test z :

z = (pp ₀ ) / √ p ₀ (1-p ₀ )/n

où:

• p : proportion d’échantillon observée
• p ₀ : proportion hypothétique de la population
• n : taille de l’échantillon

Si la valeur p qui correspond à la statistique de test z est inférieure au niveau de signification choisi (les choix courants sont 0,10, 0,05 et 0,01), vous pouvez alors rejeter l’hypothèse nulle.

Test Z à une proportion : exemple

Supposons que nous voulions savoir si la proportion d’habitants d’un certain comté qui soutiennent une certaine loi est égale ou non à 60 %. Pour tester cela, nous effectuerons un test z à une proportion au niveau de signification α = 0,05 en suivant les étapes suivantes :

Étape 1 : Rassemblez les exemples de données.

Supposons que nous interrogeions un échantillon aléatoire de résidents et que nous obtenions les informations suivantes :

• p : proportion d’échantillon observée = 0,64
• p ₀ : proportion hypothétique de la population = 0,60
• n : taille de l’échantillon = 100

Étape 2 : Définir les hypothèses.

Nous effectuerons le test t sur un échantillon avec les hypothèses suivantes :

• H ₀ : p = 0,60 (la proportion de population est égale à 0,60)
• H ₁ : p ≠ 0,60 (la proportion de population n’est pas égale à 0,60)

Étape 3 : Calculez la statistique de test z .

z = (pp ₀ ) / √ p ₀ (1-p ₀ )/n = (.64-.6) / √ .6(1-.6)/100 = 0.816

Étape 4 : Calculez la valeur p de la statistique de test z .

Selon lecalculateur de score Z vers P Value , la valeur p bilatérale associée à z = 0,816 est 0,4145 .

Étape 5 : Tirez une conclusion.

Puisque cette valeur p n’est pas inférieure à notre niveau de signification α = 0,05, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle. Nous ne disposons pas de preuves suffisantes pour affirmer que la proportion d’habitants favorables à la loi est différente de 0,60.

Remarque : Vous pouvez également effectuer l’intégralité de ce test z à une proportion en utilisant simplement le calculateur de test Z à une proportion .

Ressources additionnelles

Comment effectuer un test Z à une proportion dans Excel
Calculateur de test Z à une proportion