Le test de Breusch-Pagan : définition & Exemple

L’une des hypothèses clés de la régression linéaire est que les résidus sont distribués avec une variance égale à chaque niveau de la variable prédictive. Cette hypothèse est connue sous le nom d’homoscédasticité .

Lorsque cette hypothèse n’est pas respectée, on dit que l’hétéroscédasticité est présente dans les résidus. Lorsque cela se produit, les résultats de la régression deviennent peu fiables.

Une façon de détecter visuellement si une hétéroscédasticité est présente consiste à créer un tracé des résidus par rapport aux valeurs ajustées du modèle de régression.

Si les résidus s’étalent davantage à des valeurs plus élevées dans le graphique, c’est un signe révélateur de la présence d’une hétéroscédasticité.

Un test statistique formel que nous pouvons utiliser pour déterminer si une hétéroscédasticité est présente est le test de Breusch-Pagan .

Ce didacticiel fournit une brève explication du test de Breusch-Pagan ainsi qu’un exemple.

Qu’est-ce que le test de Breusch-Pagan ?

Le test de Breusch-Pagan est utilisé pour déterminer si l’hétéroscédasticité est présente ou non dans un modèle de régression.

Le test utilise les hypothèses nulles et alternatives suivantes :

• Hypothèse nulle (H ₀ ) : l’homoscédasticité est présente (les résidus sont distribués avec une variance égale)
• Hypothèse alternative (H _A ) : l’hétéroscédasticité est présente (les résidus ne sont pas distribués avec une variance égale)

Si la valeur p du test est inférieure à un certain niveau de signification (c’est-à-dire α = 0,05), alors nous rejetons l’hypothèse nulle et concluons que l’hétéroscédasticité est présente dans le modèle de régression.

Nous utilisons les étapes suivantes pour effectuer un test de Breusch-Pagan :

1. Ajustez le modèle de régression.

2. Calculez les carrés des résidus du modèle.

3. Ajustez un nouveau modèle de régression, en utilisant les carrés des résidus comme valeurs de réponse.

4. Calculez la statistique du test du Chi carré X ² sous la forme n*R ² _new où :

• n : Le nombre total d’ observations
• R ² _nouveau : Le R au carré du nouveau modèle de régression qui utilisait les carrés des résidus comme valeurs de réponse

Si la valeur p qui correspond à cette statistique du test du chi carré avec p (le nombre de prédicteurs) degrés de liberté est inférieure à un certain niveau de signification (c’est-à-dire α = 0,05), rejetez alors l’hypothèse nulle et concluez à la présence d’hétéroscédasticité.

Sinon, ne rejetez pas l’hypothèse nulle. Dans ce cas, on suppose que l’homoscédasticité est présente.

Notez que la plupart des logiciels statistiques peuvent facilement effectuer le test de Breusch-Pagan, vous n’aurez donc probablement jamais à effectuer ces étapes à la main, mais il est utile de savoir ce qui se passe dans les coulisses.

Un exemple du test de Breusch-Pagan

Supposons que nous disposions de l’ensemble de données suivant contenant des informations sur 10 joueurs de basket-ball différents :

À l’aide d’un logiciel statistique, nous ajustons le modèle de régression linéaire multiple suivant :

note = 62,47 + 1,12*(points) + 0,88*(passes) – 0,43*(rebonds)

Nous utilisons ensuite ce modèle pour faire des prédictions sur la note de chaque joueur et calculer les carrés résiduels (c’est-à-dire la différence au carré entre la note prédite et la note réelle) :

Ensuite, nous ajustons un nouveau modèle de régression en utilisant les carrés des résidus comme valeurs de réponse et les variables prédictives d’origine comme variables prédictives une fois de plus. Nous trouvons ce qui suit :

• n: 10
• R ² _nouveau : 0.600395

Ainsi, notre statistique du test du Chi carré pour le test de Breusch-Pagan est n*R ² _new = 10*.600395 = 6.00395 . Les degrés de liberté sont p = 3 variables prédictives.

Selon le calculateur du chi carré à la valeur P , la valeur p qui correspond à X ² = 6,00395 avec 3 degrés de liberté est 0,111418 .

Puisque cette valeur p n’est pas inférieure à 0,05, nous ne parvenons pas à rejeter l’hypothèse nulle. Nous supposons donc que l’homoscédasticité est présente.

Le test Breusch-Pagan en pratique

Les didacticiels suivants fournissent des exemples étape par étape sur la façon d’effectuer le test de Breusch-Pagan dans différents programmes statistiques :

Comment effectuer un test de Breusch-Pagan dans Excel
Comment effectuer un test de Breusch-Pagan dans R
Comment effectuer un test Breusch-Pagan en Python
Comment effectuer un test Breusch-Pagan dans Stata