Axiomes de probabilité

Cet article explique quels sont les axiomes de probabilité. Ainsi, vous trouverez la définition axiomatique de la probabilité, quels sont les différents axiomes de probabilité et un exemple de leur application.

Quels sont les 3 axiomes de probabilité ?

Les axiomes de probabilité sont :

1. Axiome de probabilité 1 : la probabilité d’un événement ne peut pas être négative.
2. Axiome de probabilité 2 : la probabilité d’un certain événement est 1.
3. Axiome de probabilité 3 : la probabilité d’un ensemble d’événements exclusifs est égale à la somme de toutes les probabilités.

Les trois axiomes de probabilité sont également connus sous le nom d’ axiomes de Kolmogorov , car ils ont été formulés par ce mathématicien russe en 1933.

Chaque type d’axiome de probabilité est expliqué plus en détail ci-dessous.

Axiome 1

Le premier axiome de probabilité dit que la probabilité qu’un événement se produise ne peut pas être négative et que sa valeur est donc comprise entre 0 et 1.

Si la probabilité d’un événement est nulle, cela signifie qu’il est impossible qu’il se produise. En revanche, si la probabilité d’un événement est de 1, cela signifie que cet événement se produira sûrement. Ainsi, plus la valeur de probabilité d’un événement est élevée, plus il est probable qu’il se produise.

axiome 2

Le deuxième axiome de probabilité indique que la probabilité d’occurrence d’un certain événement est égale à 1.

Un certain événement est le résultat d’une expérience aléatoire qui se produira toujours. Par conséquent, un événement sûr peut également être défini comme l’espace échantillon d’une expérience randomisée.

Axiome 3

Le troisième axiome de probabilité stipule que, étant donné un ensemble d’événements exclusifs, la probabilité conjointe de tous les événements est équivalente à la somme de toutes les probabilités d’occurrence.

Deux événements ou plus sont exclusifs lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Par conséquent, pour calculer la probabilité conjointe, il n’est pas nécessaire de prendre en compte la probabilité qu’ils se produisent simultanément.

Exemple des axiomes de probabilité

À titre d’exemple, nous analyserons ci-dessous plusieurs résultats de l’expérience consistant à lancer un dé afin que vous puissiez voir que les axiomes de probabilité sont remplis.

Lorsque vous lancez un dé, il y a six résultats possibles, qui sont les suivants :

Dans ce cas, tous les résultats sont équiprobables, donc pour déterminer la probabilité d’apparition de chaque résultat, il suffit de trouver la probabilité d’un résultat. Ainsi, nous appliquons la formule de la règle de Laplace pour calculer la probabilité de chaque résultat possible :

Alors, puisque la probabilité d’obtenir chaque résultat est positive, le premier axiome de probabilité est satisfait.

Vérifions maintenant le deuxième axiome. Dans ce cas, un certain événement « obtient un nombre de 1 à 6 », nous ajoutons donc la probabilité d’obtenir chaque résultat :

Ainsi, la probabilité d’un certain événement est égale à 1, donc le deuxième axiome de probabilité est également rempli.

Enfin, il ne reste plus qu’à vérifier le troisième axiome de probabilité. Les différents résultats que nous pouvons obtenir en lançant un dé s’excluent mutuellement, puisque par exemple si nous obtenons un 2, nous ne pouvons plus obtenir un 5. Par conséquent, le calcul pour obtenir deux nombres quelconques peut être effectué de deux manières : au moyen de la règle de Laplace ou en additionnant la probabilité de chaque résultat.

Dans les deux cas, nous obtenons la même valeur de probabilité, donc le troisième axiome de probabilité est également vrai.

Propriétés déduites des axiomes de probabilité

Des trois axiomes de probabilité, on peut déduire les propriétés suivantes :

1. La probabilité d’un événement impossible est nulle.



2. La probabilité de tout événement est égale ou inférieure à 1.





3. La probabilité d’un événement est égale à un moins la probabilité de son événement complémentaire .



4. Si un événement est inclus dans un autre événement, la probabilité du premier événement doit être inférieure ou égale à la probabilité du deuxième événement.



5. La probabilité d’union de deux événements est la somme de leurs probabilités moins la probabilité de leur intersection.



6. Étant donné un ensemble d’ événements incompatibles deux par deux, leur probabilité conjointe est calculée en additionnant la probabilité d’occurrence de chaque événement.



7. Si l’espace échantillon est fini et qu’un événement est S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, la probabilité d’occurrence dudit événement est équivalente à l’expression suivante :