Intervalle de confiance pour la différence de proportions

Par Pr Amélia Rodriguez août 3, 2023 Statistiques 0 commentaire

Cet article explique ce qu’est l’intervalle de confiance pour la différence de proportions dans les statistiques et à quoi il sert. Vous découvrirez également comment calculer l’intervalle de confiance pour la différence de deux proportions et un exercice résolu étape par étape.

Quel est l’intervalle de confiance pour la différence de proportions ?

L’ intervalle de confiance pour la différence de proportions est un intervalle qui fournit une plage de valeurs acceptables entre lesquelles correspond la valeur de la différence entre les proportions de deux populations avec un certain niveau de confiance.

Par exemple, si l’intervalle de confiance pour la différence entre les proportions de deux populations à un niveau de confiance de 95 % est (0,07, 15), cela signifie que la différence entre les deux proportions de population sera comprise entre 7 % et 15 % avec une probabilité de 95%.

Par conséquent, en statistique, l’intervalle de confiance pour la différence de proportions est utilisé pour estimer deux valeurs entre lesquelles se trouve la différence entre deux proportions de population. Deux échantillons sont donc collectés et à partir de ces données, il est possible d’évaluer approximativement la différence entre les proportions des populations.

➤ Voir : Intervalle de confiance pour la différence des moyennes

Formule d’intervalle de confiance pour la différence de proportions

La formule pour calculer l’intervalle de confiance pour la différence de proportions avec un niveau de confiance de 1-α est la suivante :

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

Où:

$\widehat{p_i}$ est la proportion d’échantillon i.
$n_i$ est la taille de l’échantillon i.
$Z_{\alpha/2}$ est le quantile de la distribution normale standard correspondant à une probabilité de α/2. Pour des échantillons de grande taille et un niveau de confiance de 95 %, il est généralement proche de 1,96 et pour un niveau de confiance de 99 %, il est généralement proche de 2,576.

➤ Voir : Formule d’intervalle de confiance pour la proportion

Exemple concret d’intervalle de confiance pour la différence de proportions

Après avoir vu la définition de l’intervalle de confiance pour la différence de proportions et quelle est sa formule, nous allons voir un exemple concret de la façon dont l’intervalle de confiance pour la différence de proportions est calculé.

Nous voulons faire une étude statistique sur la proportion de gauchers, plus précisément, nous voulons connaître la différence entre les proportions de gauchers entre les hommes et les femmes. Pour cela, un échantillon de 60 hommes et un échantillon de 67 femmes sont prélevés, parmi lesquels 5 hommes et 7 femmes sont gauchers. Quel est l’intervalle de confiance pour la différence de proportions à un niveau de confiance de 95 % ?

Tout d’abord, nous devons calculer la proportion de gauchers pour chaque échantillon statistique :

$\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083$

$\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104$

Comme nous l’avons vu dans la section ci-dessus, la formule pour déterminer l’intervalle de confiance pour la différence de proportions est la suivante :

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

Donc, pour trouver l’intervalle de confiance pour la différence de proportions, nous devons déterminer la valeur de Z _α /2. Pour ce faire, nous utilisons le tableau de la distribution normale standard .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

Enfin, nous substituons les données dans la formule et calculons l’intervalle de confiance pour la différence de proportions :

$\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}$

$\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}$

$\displaystyle -0,021\pm 0,101$

En bref, l’intervalle de confiance pour la différence dans les proportions du problème est :

$(-0,122 \ , \ 0,08)$

➤ Voir : Test d’hypothèse pour la différence de proportions

à propos de l'auteur

Pr Amélia Rodriguez

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Quel est l’intervalle de confiance pour la différence de proportions ?

Formule d’intervalle de confiance pour la différence de proportions

Exemple concret d’intervalle de confiance pour la différence de proportions

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