Qu’est-ce que l’hypothèse d’indépendance dans les statistiques ?

De nombreux tests statistiques supposent que les observations sont indépendantes. Cela signifie qu’aucune observation dans un ensemble de données n’est liée l’une à l’autre ou ne s’affecte de quelque manière que ce soit.

Par exemple, supposons que nous souhaitions tester s’il existe ou non une différence de poids moyen entre deux espèces de chats. Si l’on mesurait le poids de 10 chats de l’espèce A et de 10 chats de l’espèce B, on violerait l’hypothèse d’indépendance si chacun des groupes de chats provenait de la même portée.

Il est possible que la mère chatte de l’espèce A ait simplement eu tous des chatons de faible poids tandis que la mère chatte de l’espèce B ait eu des chatons lourds. À cet égard, les observations de chaque échantillon ne sont pas indépendantes les unes des autres.

Il existe trois types courants de tests statistiques qui font cette hypothèse d’indépendance :

1. Test t à deux échantillons

2. ANOVA (Analyse de Variance)

3. Régression linéaire

Dans les sections suivantes, nous expliquons pourquoi cette hypothèse est faite pour chaque type de test ainsi que comment déterminer si cette hypothèse est satisfaite ou non.

Hypothèse d’indépendance dans les tests t

Un test t à deux échantillons est utilisé pour tester si les moyennes de deux populations sont égales ou non.

Hypothèse : ce type de test suppose que les observations au sein de chaque échantillon sont indépendantes les unes des autres et que les observations entre les échantillons sont également indépendantes les unes des autres.

Testez cette hypothèse : le moyen le plus simple de vérifier cette hypothèse est de vérifier que chaque observation n’apparaît qu’une seule fois dans chaque échantillon et que les observations de chaque échantillon ont été collectées par échantillonnage aléatoire.

Hypothèse d’indépendance dans l’ANOVA

Une ANOVA est utilisée pour déterminer s’il existe ou non une différence significative entre les moyennes de trois groupes indépendants ou plus.

Hypothèse : une ANOVA suppose que les observations dans chaque groupe sont indépendantes les unes des autres et que les observations au sein des groupes ont été obtenues par un échantillon aléatoire.

Testez cette hypothèse : Semblable à un test t, le moyen le plus simple de vérifier cette hypothèse est de vérifier que chaque observation n’apparaît qu’une seule fois dans chaque échantillon et que les observations de chaque échantillon ont été collectées par échantillonnage aléatoire.

Hypothèse d’indépendance dans la régression

La régression linéaire est utilisée pour comprendre la relation entre une ou plusieurs variables prédictives et une variable de réponse .

Hypothèse : la régression linéaire suppose que les résidus du modèle ajusté sont indépendants.

Testez cette hypothèse : le moyen le plus simple de vérifier cette hypothèse est d’examiner un tracé de série chronologique des résidus, qui est un tracé des résidus en fonction du temps. Idéalement, la plupart des autocorrélations résiduelles devraient se situer dans les bandes de confiance de 95 % autour de zéro, qui sont situées à environ +/- 2 sur la racine carrée de n , où n est la taille de l’échantillon. Vous pouvez également tester formellement si cette hypothèse est remplie à l’aide du test de Durbin-Watson .

Sources courantes de non-indépendance

Il existe trois sources courantes de non-indépendance dans les ensembles de données :

1. Les observations sont rapprochées dans le temps.

Par exemple, un chercheur peut collecter des données sur la vitesse moyenne des voitures sur une certaine route. S’il choisit de suivre les vitesses le soir, il constatera peut-être que la vitesse moyenne est beaucoup plus élevée que ce à quoi il s’attendait simplement parce que chaque conducteur rentre précipitamment du travail.

Ces données violent l’hypothèse selon laquelle chaque observation est indépendante. Étant donné que chaque observation a été observée à la même heure de la journée, la vitesse de chaque voiture est susceptible d’être similaire.

2. Les observations sont rapprochées dans l’espace.

Par exemple, un chercheur peut collecter des données sur le revenu annuel de personnes qui vivent toutes dans le même quartier à revenu élevé, car cela est pratique.

À cet égard, toutes les personnes incluses dans l’échantillon de données sont susceptibles d’avoir des revenus similaires puisqu’elles vivent toutes à proximité les unes des autres. Cela viole l’hypothèse selon laquelle chaque observation est indépendante.

3. Les observations apparaissent plusieurs fois dans le même ensemble de données.

Par exemple, un chercheur peut avoir besoin de collecter des données sur 50 individus, mais décide plutôt de collecter des données sur 25 individus deux fois, car c’est beaucoup plus facile à faire.

Cela viole l’hypothèse d’indépendance car chaque observation de l’ensemble de données sera liée à elle-même.

Comment éviter de violer l’hypothèse d’indépendance

Le moyen le plus simple d’éviter de violer l’hypothèse d’indépendance consiste simplement à utiliser un échantillonnage aléatoire simple lors de l’obtention d’un échantillon d’une population.

Grâce à cette méthode, chaque individu de la population d’intérêt a une chance égale d’être inclus dans l’échantillon.

Par exemple, si notre population d’intérêt contient 10 000 individus, nous pouvons attribuer au hasard un numéro à chaque individu de la population, puis utiliser un générateur de nombres aléatoires pour sélectionner 40 nombres aléatoires. Les individus correspondant à ces chiffres seraient alors inclus dans l’échantillon.

En utilisant cette méthode, nous minimisons les chances de sélectionner deux individus qui peuvent être très proches l’un de l’autre ou qui peuvent avoir un lien de parenté d’une manière ou d’une autre.

Cela contraste directement avec d’autres méthodes d’échantillonnage telles que :

• Échantillonnage de commodité : inclure dans un échantillon des individus qui sont simplement faciles à atteindre.
• Échantillonnage volontaire : inclure des individus dans un échantillon qui se portent volontaires pour être inclus.

En utilisant une méthode d’échantillonnage aléatoire, nous pouvons minimiser les risques de violation de l’hypothèse d’indépendance.

Ressources additionnelles

Les quatre hypothèses formulées dans un test T
Les quatre hypothèses de la régression linéaire
Les trois hypothèses de l’ANOVA
Qu’est-ce qu’un échantillon représentatif et pourquoi est-il important ?