Qu’est-ce que la trace de Pillai ? (Définition & #038; Exemple)

Une ANOVA unidirectionnelle est utilisée pour déterminer si différents niveaux d’une variable explicative conduisent ou non à des résultats statistiquement différents dans certaines variables de réponse .

Par exemple, nous pourrions être intéressés à comprendre si trois niveaux d’études (diplôme d’associé, baccalauréat, maîtrise) conduisent ou non à des revenus annuels statistiquement différents . Dans ce cas, nous avons une variable explicative et une variable de réponse.

Une MANOVA est une extension de l’ANOVA unidirectionnelle dans laquelle il y a plus d’une variable de réponse. Par exemple, nous pourrions être intéressés à comprendre si l’éducation conduit à différents revenus annuels et différents montants de dette étudiante. Dans ce cas, nous avons une variable explicative et deux variables de réponse.

L’une des statistiques de test produites par une MANOVA est la trace de Pillai .

Qu’est-ce que la Trace de Pillai ?

La trace de Pillai   est une statistique de test produite par une MANOVA. C’est une valeur qui varie de 0 à 1.

Plus la trace de Pillai est proche de 1, plus la preuve que la variable explicative a un effet statistiquement significatif sur les valeurs des variables de réponse est forte.

La trace de Pillai, souvent notée V, est calculée comme suit :

V = trace(H(H+E) ^-1 )

où:

• H : L’hypothèse de la somme des carrés et de la matrice des produits croisés
• E : La somme d’erreur des carrés et la matrice des produits vectoriels

Lors de l’exécution d’une MANOVA, la plupart des logiciels statistiques utilisent la trace de Pillai pour calculer une approximation approximative d’une statistique F ainsi qu’une valeur p correspondante.

Si cette valeur p est inférieure à un certain niveau de signification (c’est-à-dire α = 0,05), alors nous rejetons l’hypothèse nulle de la MANOVA et concluons que la variable explicative a un effet significatif sur les valeurs des variables de réponse.

Quand utiliser la trace de Pillai

Lors de l’exécution d’une MANOVA, la plupart des logiciels statistiques produiront en fait quatre statistiques de test :

• Trace de Pillai
• La Lambda de Wilks
• Trace Lawley-Hotelling
• La plus grande racine de Roy

Il est recommandé d’utiliser la trace de Pillai comme statistique de test lorsque les hypothèses d’une MANOVA ne sont pas respectées. Pour rappel, MANOVA fait les hypothèses suivantes :

• Les résidus suivent une distribution de probabilité normale multivariée avec des moyennes égales à zéro.
• Les matrices de variance-covariance de chaque groupe de résidus sont égales.
• Les observations sont indépendantes.

Lorsqu’une ou plusieurs de ces hypothèses ne sont pas respectées, la trace de Pillai tend à être la statistique de test la plus robuste.

Exemple de calcul de la trace de Pillai

Dans ce tutoriel , nous effectuons une MANOVA dans Stata en utilisant les variables suivantes :

• Variable explicative : Niveau d’études (Associé, Baccalauréat ou Master)
• Variables de réponse : Revenu annuel, Dette totale liée aux prêts étudiants

La capture d’écran suivante montre la sortie de MANOVA :

Notez que MANOVA a produit quatre statistiques de test :

• Lambda de Wilks : statistique F = 5,02, valeur P = 0,0023.
• Trace de Pillai : statistique F = 4,07, valeur P = 0,0071.
• Trace Lawley-Hotelling : statistique F = 5,94, valeur P = 0,0008.
• La plus grande racine de Roy : F-Statistic = 13,10, P-value = 0,0002.

La valeur F pour chaque statistique de test varie mais chaque valeur p correspondante est inférieure à 0,05, nous rejetterions donc l’hypothèse nulle de la MANOVA et conclurions que le niveau d’éducation a un effet significatif sur le revenu annuel et la dette totale des étudiants.

Ressources additionnelles

Comment effectuer une MANOVA dans Stata
Comment effectuer une MANOVA dans SPSS
Comment effectuer une MANOVA dans R